双曲幾何学

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双曲幾何学（そうきょくきかがく）またはボヤイ・ロバチェフスキー幾何学とは、まっすぐな空間（ユークリッド空間、放物幾何的空間）ではなく、負の曲率を持つ曲がった空間における幾何学である。ロバチェフスキー(1829年発表)、ボヤイ(1832年発表)、ガウス(発表せず)らによってそれぞれ同時期に独立に提唱された。

ユークリッドのユークリッド原論の5番目の公準（任意の直線上にない一点を通る平行な直線がただ一本存在すること、平行線の公準）、それを否定する公理を付け加え、その新たな平行線公理と無矛盾な体系として得られる幾何学である非ユークリッド幾何学の一つである。双曲幾何学の場合には、「ある直線 L とその直線の外にある点 p が与えられたとき、p を通り L に平行な直線は無限に存在する」という公理に支えられて構成される。

双曲幾何学では、ユークリッド原論の平行線の公準以外の公理公準はすべて成立する。これは平行線の公準が独立した公準であり、ほかの公準からは証明できないということである。なぜならば他の公準から証明できるとすればその他の全ての公準が成り立つ双曲幾何学でも平行線の公準が成り立つはずだからである。この幾何学は、もともと平行線の公準をユークリッド原論のほかの公準から証明しようとして作られた幾何学だが、皮肉なことにこの幾何学により平行線の公準は独立でほかの公準からは証明できないことが証明された。

例えば、平面においては任意の直線にその直線上にない一点を通る平行線は一本しかないが、無限に開き続ける漏斗のようなものにおいては、任意の直線にその直線上にない一点を通る平行線は無限に存在することになる。

このような面はベルトラミーの擬球面と呼ばれ、双曲幾何学の成立する面(双曲平面)の一種である。また、ベルトラミーの擬球面などの双曲平面は、双曲幾何学が完成した後に発見された。

[編集] 物理学への応用

以上は数学的な双曲幾何学だったが、物理学的な双曲幾何学によりこれを現実の世界に応用することができる。高速で回転する円盤上ではローレンツ収縮により物体の長さが縮む。このとき円盤の中心から遠ざかるにつれて回転速度が速くなるため、端に行くほどローレンツ収縮の効果が強く出ることになる。このような場合では二点間を結ぶ最短距離は(円盤の直径をのぞいて)回転の遅い中心よりの線になり止まった状態の円盤から見ると曲線になる。つまり高速で円盤を回転させたために直線が曲がり3次元の空間が負の曲率を持ったのである。