数学記号の表

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

この項目には、一部のコンピュータ/一部の閲覧ソフトで表示できない文字が含まれています。該当の文字を含んだフォントが使用できる環境でご覧くださることをおすすめします。Wikipedia:メディアウィキに適応するブラウザもご参照下さい。

数学記号の表（すうがくきごう-ひょう）

数学においては、抽象的な概念を簡潔に記述するために様々な特殊な記号が用いられる。これは、それらの記号と意味を記した一覧表である。数学においては、各々の記号はそれ単独では「意味」を持たないものと理解される。それらは常に、数式あるいは論理式として文脈（時には暗黙のうちに掲げられている、前提や枠組み）に即して評価をされて初めて、値として意味を生じるのである。ゆえにここに掲げられる意味は慣用的な一例に過ぎず絶対ではないことに事前の了解が必要である。記号の「読み」は記号の見た目やその文脈における意味、あるいは記号の由来（たとえばエポニム）とか便宜的な都合（たとえば、特定のグリフをインプットメソッドを通じてコードポイントを指定して利用するためになんらかの呼称を与えたりすること）などといったものに従って生じるために、「記号」と「読み」との間には相関性を見出すことなく分けて考えるのが妥当である。

[編集] 記号論理の記号

以下の解説において、文字 P, Q, R はそれぞれ何らかの命題を表すものとする。

記号	意味	解説
∧	論理積	「`P` ∧ `Q`」は「命題 `P` と命題 `Q` がともに真」という命題を表す。
∨	論理和	「`P` ∨ `Q`」は「命題 `P` と命題 `Q` の少なくとも一方は真」という命題を表す。
¬	否定	「¬`P`」は「命題 `P` が偽」という命題を表す。
⇒	導出	「`P` ⇒ `Q`」は、「命題 `P` が真なら必ず `Q` も真」という命題を表す。`P` が偽の場合も真となるのが直感と反するので注意。
→	導出
⇔	同値	「`P` ⇔ `Q`」は `P` と `Q` の真偽が必ず一致することを意味する。
iff	同値	「`P` ⇔ `Q`」は `P` と `Q` の真偽が必ず一致することを意味する。
∀	全称限量記号	しばしば ∀ `x` ∈ `S`; `P`(`x`) のように書かれ、集合 `S` の任意の元 `x` に対して命題 `P`(`x`) が成立することを表す。
∃	存在限量記号	しばしば ∃ `x` ∈ `S`; `P`(`x`) のように書かれ、集合 `S` の中に命題 `P`(`x`) を成立させるような元 `x` が少なくとも1つ存在することを表す。
∃₁	一意的に存在	しばしば　∃₁ `x` ∈ `S`; `P`(`x`) のように書かれ、集合 `S` の中に命題 `P`(`x`) を成立させるような元 `x` が唯1つ存在することを表す。
∃_!	一意的に存在
∴	結論	文頭に記され、その文の主張が前述の内容を受けて述べられていることを示す。
∵	理由・根拠	文頭に記され、その文の内容が前述の内容の理由説明であることを示す。
:=	定義	「`A` := `X`」は、`A` という記号の意味するところを、`X` と定義することである。「`A` :⇔ `X`」とも書く。
:⇔	定義

[編集] 集合論の記号

以下の解説において、S, T は何らかの集合を表す。

記号	意味	解説
{`x` ∈ `S` \| `P`(`x`)}	-	`S` の元のうち、命題 `P`(`x`) が真であるもの全てを集めた集合。必要がなければ「∈ `S`」は省略する。
∈	集合に属すること	「`x` ∈ `S`」は、`x` が集合 `S` の元であることを意味する。必要に応じて「`S` ∋ `x`」とも書くが、こちらには `S` が主語であるようなニュアンスを伴うこともある。「¬(`x` ∈ `S`)」を「`x` ∉ `S`」と書く。
∉	∈ の否定
=	集合の一致	「`S` = `T`」は集合 `S` と集合 `T` が等しいことを示す。
≠	= の否定	-
⊆	集合の包含関係	「`S` ⊆ `T`」は `S` が `T` の部分集合であることを意味する。必要に応じて「`T` ⊇ `S`」とも書く。他も同じ。 ⊆は `S` と `T` が等しい場合を含むが、⊂ は真部分集合の場合のみを表す。ただし、⊂ に「等しい場合」を含む流儀もあり、その場合、真部分集合であることを示すには $\subsetneq$ を用いる。 ∈ と同様、 $\not\subset, \not\subseteq$ などの記号もある。
⊇
⊂
⊃
$\subsetneq$
$\supsetneq$

集合演算
記号	意味	解説
∩	積集合	「`S` ∩ `T`」は集合 `S` と集合 `T` の積集合を表す。また $\bigcap_{\lambda\in\Lambda} S_\lambda$ は、集合族 {`S`_λ} の全ての積集合を表す。
∪	和集合	「`S` ∪ `T`」は集合 `S` と集合 `T` の和集合を表す。また、 $\bigcup_{\lambda\in\Lambda} S_\lambda$ は、集合族 {`S`_λ} の全ての和集合を表す。
+	直和集合	「`S` + `T`」は「`S` ∪ `T`」に同じであるが、ただし `S` ∩ `T` が空集合であることを暗黙に述べている。この場合、集合族の和集合は次のように記す。 $\sum_{\lambda\in\Lambda} S_\lambda$
∑	直和集合
\	差集合	「`S` \ `T`」は、集合 `S` から集合 `T` を除いた差集合を表す。「`S` - `T`」も同じ。
-	差集合	「`S` \ `T`」は、集合 `S` から集合 `T` を除いた差集合を表す。「`S` - `T`」も同じ。
·^c	補集合	`S`^c は、集合 `S` の補集合を表す。「 $\complement S$ 」も同じ。
C( · )	補集合	`S`^c は、集合 `S` の補集合を表す。「 $\complement S$ 」も同じ。
2^·	べき集合	2^Sは、`S` の部分集合を全て集めた集合を表す。 $\mathfrak{P}(S)$ とも書く。
$\mathfrak{P}$ ( · )	べき集合	2^Sは、`S` の部分集合を全て集めた集合を表す。 $\mathfrak{P}(S)$ とも書く。
×	直積集合	「`S` × `T`」は `S` と `T` の直積を表す。一般に、集合族 {`S`_λ} に属する集合たちの直積を $\prod_{\lambda\in\Lambda} S_\lambda$ のように記す。
∏	直積集合
· / ·	商集合	「`S`/∼」は、集合 `S` の同値関係 ∼ によって定まる `S` の商集合を表す。
Map( · , · )	写像の全体	Map(`S`,`T`) は `S` から `T` への写像を全て集めた集合を表す。
Δ	対称差	対称差は、二つの集合に対し、一方には含まれるが他方には含まれない元を全て集めた集合を表す。 $\begin{align}P \, \triangle \, Q &= ( P \cup Q ) \setminus ( P \cap Q ) \\ &= ( P \setminus Q ) \cup ( Q \setminus P )\end{align}$

写像
記号	意味	解説
`f`: · → ·	写像	「`f`:`S`→`T`」は、 `f` が `S` から `T` への写像であることを示す。
$\mapsto$	元の対応	$x \mapsto^f y$ は、`x` を写像 `f` によって写したものが `y` であることを意味する。文脈上明らかであれば `f` の記述は省略される。
$\circ$	合成写像	「 $f\circ g$ 」は写像 `f` と写像 `g` の合成を表す。すなわち $f\circ g(x) = f(g(x))$ である。合成の順序を逆に定義する（つまり、`g`(`f`(`x`)) と定義する）流儀もある。
Image	像	写像 `φ` に対して、Image `φ` はその写像の像全体の集合（値域）を表す。

特定の集合
記号	意味
`∅`	空集合
$\emptyset$	空集合
`P`	素数の全体、射影空間など
$\mathbb{P}$	素数の全体、射影空間など
`N`	自然数の全体
$\mathbb{N}$	自然数の全体
`Z`	整数の全体
$\mathbb{Z}$	整数の全体
`Q`	有理数の全体
$\mathbb{Q}$	有理数の全体
`R`	実数の全体
$\mathbb{R}$	実数の全体
`A`	代数的数の全体、アフィン空間、アデールなど
$\mathbb{A}$	代数的数の全体、アフィン空間、アデールなど
`C`	複素数の全体
$\mathbb{C}$	複素数の全体
`H`	四元数の全体
$\mathbb{H}$	四元数の全体

濃度
記号	意味	解説
\| · \|	濃度	\|`S`\| は集合 `S` の濃度を表す。card `S` や #`S` も同じ。
card
#
$\aleph_0$	可算濃度	自然数で番号付けのできる濃度。これは最小の無限濃度である。
$\mathfrak{a}$	可算濃度	自然数で番号付けのできる濃度。これは最小の無限濃度である。
$\aleph$	連続体濃度	実数の濃度。これが可算濃度の次の濃度かどうかというのが連続体仮説である。
$\mathfrak{c}$	連続体濃度	実数の濃度。これが可算濃度の次の濃度かどうかというのが連続体仮説である。

[編集] 定数

詳細は数学定数を参照

ある数学定数を表すために広く習慣的に使われる記号がいくつかある。

記号	意味	解説
0	0, 零元	普通の意味での数の 0 を表す。また、集合 `S` にある可換な演算（加法）とその単位元が存在するとき、単位元を 0 あるいは 0_S と書く。
1	1, 乗法単位元	普通の意味での数の 1 を表す。また、集合 `S` にある演算（乗法）とその単位元が存在するとき、単位元を 1 あるいは 1_S と書く。
`π`	円周率	円周の直径に対する比
`e`	自然対数の底	-
`i`	虚数単位	−1 の平方根。電気工学系ではしばしば j を用いる。
`j`, `k`	虚数単位	1, `i` とともに四元数体の、`R`上のベクトル空間としての基底をなす。

[編集] 算術記号

これらは主に実数、複素数などの普通の意味で「数」と見なされるものに対して適用される演算記号である。ベクトル、行列、その他の代数系においても適宜適用されるものもある。

記号	意味	解説
+	正符号	`x` の加法に関する逆元を表すために負符号を用いて -`x` と記す。これとのバランスのため、`x` 自身のことを +`x` と書くこともある。
-	負符号
+	加法	「`x` + `y`」は `x` と `y` の和を表す
∑	総和	$\sum_{k=1}^n a_k := a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + a_n.$ と定義され、その極限として定まる無限和を $\sum_{k=1}^\infty a_k \equiv \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k$ と書く。またある命題 `P`(`x`) があるとき、`P`(`x`) を満たすような各 `k` についての和を取ることを $\sum_{P(k)} \,a_k$ と書く。
-	減法	「`x` - `y`」は `x` と `y` の差を表す。通常、「`x` + (-`y`)」と定義されている。
*	乗法	「`x` * `y`」は `x` と `y` の積を表す。「`x` · `y`」や「`x` × `y` 」とも書く。
·
×
∏	総乗	∑ はたくさんの加法を一挙に表すものであったが、∏ はたくさんの乗法を一挙に表すものである。 $\prod_{k=1}^n a_k = a_1\times a_2\times \dots\times a_n.$ 他の記法のバリエーションも ∑ に同じ。
÷	除法	「`x` ÷ `y`」は `x` を `y` で割った商を表す。
/	除法	「`x` ÷ `y`」は `x` を `y` で割った商を表す。
mod	剰余	「`x` mod `y`」は `x` を `y` で割った余りを表す。「`x` % `y`」はコンピュータ寄りの分野で良く用いられる記法である。
%	剰余
!	階乗	`n`! は `n` の階乗を表す。
$	超階乗	`n`$ は `n`! を `n`! 回累乗した数を表す。 $2$ = 2! 2!$
\| · \|	絶対値	\|`x`\| は `x` の絶対値である。
\|\| · \|\|	ノルム	\|\|`x`\|\| は `x` のノルムである。
<·, ·>	内積	<`x`, `y`> は `x` と `y` の内積である。
$\lfloor\cdot\rfloor$	床関数	実数 `x` に対し、 $\lfloor x\rfloor$ は `x` を超えない最大の整数を表す。
$\lceil\cdot\rceil$	天井関数	実数 `x` に対し、 $\lceil x\rceil$ は `x` を下回らない最小の整数を表す。
√	冪根、根基	ⁿ√`x` は `x` の `n` 乗根を表す。`n` が 2 であるときには単に √`x` と書くことが多い。イデアルの根基をあらわす。
$\Re$	実部	複素数 `z` に対し、Re(z) はその実部を、Im(z) はその虚部を表す。z = Re(z) + i Im(z)
Re	実部
$\Im$	虚部
Im	虚部
$\overline{\,\cdot \, }$	共役複素数	複素数 `z` に対し、 $\bar z$ はその共役複素数を表す。

記号	意味	解説
=	相等	`x` = `y` は `x` と `y` が等しいことを表す。
≠	不一致	`x` ≠ `y` は `x` と `y` が等しくないことを表す。
<	大小関係, 順序	「`x` < `y`」は　`x` と `y` の間に何らかの順序が定まっていて、`x` の方が「先」であることを示す。必要に応じて「`y` > `x`」とも書く。
>	大小関係, 順序
≤	大小関係, 順序	「`x` ≤ `y`」とは「`x` < `y` または `x` = `y`」のことである。「`x` ≥ `y`」も同様に定義される。
≥	大小関係, 順序
≪	非常に小	「`x` ≪ `y`」は `x` が `y` に比べて非常に小さいことを表す。「どれくらい」小さいかは文脈による。
≫	非常に大	「`x` ≪ `y`」は `x` が `y` に比べて非常に小さいことを表す。「どれくらい」小さいかは文脈による。
≒	ほぼ等しい	「`x` ≒ `y`」または「`x` ≈ `y`」は `x` と `y` がほぼ等しいことを表す。記号≒は日本のみ通用し、国際的には≈を使う。近似においてどのくらい違いを容認するかは文脈による。
≈	ほぼ等しい
\|	割り切る	「`x` \| `y`」は、`x` が `y` を割り切ることを表す。
$\not\|$	\| の否定	-
≡	合同	記号 ≡ は、三角形の合同関係や整数の合同関係などを表すために広く使われる。整数の合同関係を表すときには法となる数を併記する。「`n` ≡ `m` (mod `d`)」は `n` と `m` が `d` を法として合同であることを示す。

[編集] 解析学の記号

記号

意味

解説

lim

極限値

数列 a_n に対し、 $\lim_{n\to\infty} a_n$ はその数列の極限値を表す。
また、関数 f(x) に対し、 $\lim_{x\to c} f(x)$ は f(x) の c における極限値を表す。

導関数, 微分

関数 f(x) に対し、f '(x) は f の導関数を表す。また、次のようにも表記される。

$\frac{d}{dx}f(x),\ \frac{df}{dx}(x)$

$\frac{d}{dx}$

sup

上限

集合 S に対し、sup S は S の上限を表す。また、写像 f に対し、f(S) の上限を次のようにも書く。

$\sup_{x\in S} f(x)$

その他、いくつかの記法のバリエーションがある。

inf

下限

上限と同様。

max

最大値

記法は上限と同様

min

最小値

記法は上限と同様

∫

積分

$\int_{a}^b f(x) dx$	関数 `f`(`x`) の区間 [a,b] における積分
$\int_D \,f(x) dx$	`f`(`x`) の領域 `D` における積分
$\int f(x) dx$	`f`(`x`) の不定積分。または、積分すべき領域が明らかな場合の略記法

o(·)

ランダウの記号

関数の増え方の大まかな様子を表す

O(·)

Θ(·)

Ω(·)

· ~ ·

[編集] 代数学の記号

記号	意味	解説
dim	次元	ベクトル空間 `V` に対し、「dim `V`」は `V` の次元を表す。
rank	階数	線形写像 `φ` に対して、rank `φ` は `φ` の階数、すなわち dim Image(`φ`) を表す。また、行列 `A` に対して、rank `A` は `A` の階数を表す。
Ker	核, 零空間	群や環の準同型、ベクトル空間の間の線形写像 `φ` に対して、Ker `φ` はその準同型の核を表す。
deg	次数	多項式 `f` に対して、deg `f` はその次数を表す。
ord	位数	ある群の元の個数を群の位数という。また群の元 `x` に対し、ord `x` は `x` の生成する巡回群の位数を表す。
$\langle \cdot \rangle$	生成	`G` を群とすると、`G` の部分集合 `S` に対し、<`S`> は `S` の生成する部分群を表す。特に、 `S` が一元集合 `S` = { `x` } である時には <`x`> とも書く。これは `x` の生成する巡回群である。環やベクトル空間などについても同様の記法を使う。
Aut(·)	自己同型群	Aut(`G`) は、`G` のそれ自身に対する同型 (automorphism) 全体からなる群を表す。
Inn(·)	内部自己同型群	Inn(`G`) は、`G` の内部自己同型 (inner automorphism) 全体からなる群を表す。
End(·)	自己準同型	End(`G`) は、`G` のそれ自身に対する準同型 (endomorphism) 全体からなる集合（モノイド）を表す。