斜交行列

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数学において、斜交行列〔symplectic matrix〕とは、2n×2n　の行列 M （要素は、典型的には実数または複素数）であって、以下の条件を満たすものをいう。

^tMΩM = Ω

ここで、 ^tM は M の転置を意味し、Ω はある固定された非特異な反対称行列である。 Ω は、一般的には区分行列（block matrix）

$\Omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{bmatrix}$

となる様に選ぶ。ここで、I_n は n×n 次の単位行列である。 Ω の行列式は +1 であり、逆行列は Ω⁻¹ = −Ω で与えられる。

[編集] 特徴

すべての斜交行列は可逆であり、逆行列は下式で与えられる。

M⁻¹ = Ω⁻¹ ^tMΩ

また、2 つの斜交行列の積はまた斜交行列になる。これにより、すべての斜交行列全体の集合は、群の構造を持つ。この群には、多様体としての構造が自然に入り、それにより、この群は、斜交群〔symplectic group〕と呼ばれる（実または複素）リー群になる。斜交群は、 n(2n + 1) 次元である。

定義から直ちに、斜交行列の行列式が ±1 であることがわかる。実際は、行列式は常に +1 である。これは、パッフ多項式〔Pfaffian〕と以下の恒等式を使うことにより確認できる。

Pf(^tMΩM) = det(M)Pf(Ω)

^tMΩM = Ω かつ Pf(Ω) ≠ 0 だから、 det(M) = 1 を得る。

Ω として標準的なものを取り、M は

$M = \begin{pmatrix}A & B \\ C & D\end{pmatrix}$

の形をした 2n×2n の行列だとする。ここに、A、B、C、D は n×n 行列である。 M が斜交行列になる必要十分条件は、以下のすべてと同値である。

^tAD − ^tCB = I_n

^tAC = ^tCA

^tBD = ^tBD

n = 1 のときは、これらの条件は単一の条件 det(M) = 1 に単純化される。つまり、2×2 行列は、行列式が 1 のときに斜交行列となる。

[編集] 斜交変換

線形代数の公理的な構成では、行列は有限次元ベクトル空間の線形変換に対応する。公理的な構成で斜交行列に対応するのは、斜交ベクトル空間〔symplectic vector space〕の斜交変換〔symplectic transformation〕である。簡単に言うと、斜交ベクトル空間は、非退化反対称二次形式 ω を備えた2n 次元のベクトル空間 V である。

このとき、斜交変換とは、ω を保存する、つまり下式を満たす線形変換 L : V → V である。

ω(Lu, Lv) = ω(u, v)

V の基底を固定すると、ω は行列 Ω により、また L は行列 M により書くことができる。 L が斜交変換になる必要十分条件は、以下により M が斜交行列になることである。

^tMΩM = Ω

行列 A で表現される基底の取替えにより、以下が従う。

$\Omega \mapsto {}^tA \Omega A$

$M \mapsto A^{-1} M A$

A を適当に選ぶことによって、何時でも Ω を標準形式のどれにすることもできる。

[編集] 行列 Ω

斜交行列は、ある固定された特異反対称行列 Ω に関して定義される。前節で記したように、Ω は非退化反対称二次形式の座標表現として考えることもできる。この様な任意の 2 つの行列は基底の変換により互いに異なるのは、線型代数の基本的結果である。

上記の Ω 標準形と異なる最も一般的な代替は、以下の区分対角形式である。

$\Omega = \begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{matrix} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \begin{matrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{matrix} \end{bmatrix}$

この選択肢は、前記の標準形と基底ベクトルの置換の部分だけ異なる。

反対称行列の記号として、Ω の替わりに J を用いることがある。これは、複素構造の記号に混乱をもたらすことから、特に不幸な選択である、というのも、複素構造は Ω と同一の座標表現を持つが、極めて異なる構造を表現するからである。複素構造 J は、二乗すると −1 になる線形変換の座標表現であるが、Ω は、非退化反対称二次形式の座標表現である。 J が反対称でなく、または Ω が二乗して −1 にならない基底を簡単に選ぶことができる。

ベクトル空間のエルミート構造〔hermitian structure〕が与えられたとき、J と Ω は、下式を通じて関係する。

Ω_ab = −g_acJ^c_b

ここに、g_ac は計量である。 J と Ω が通常、同一の座標表現を有する（全体の符号を除く）のは、計量 g が通常、単位行列であるという事実に基づく帰結に過ぎない。

[編集] 関連項目

[編集] 出典

この記事は、英語版の記事 en:Symplectic matrix の翻訳である。

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