ベクトル空間
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線型空間（せんけいくうかん、linear space）あるいはベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）とは、和とスカラー倍の定義された集合（代数系）のことである。線形空間、線状空間とも。これは「平面（あるいは空間）上のベクトルすべてを集めた集合」を一般化、抽象化したものであり、したがって逆に、一般のベクトル空間の元のことをベクトル（またはベクター）という。
ベクトル空間は線型代数学の主要な対象であり、ベクトル空間とそれに関する手法は数学のあらゆる分野で重要な道具として用いられる。ベクトル自体が元来は速度や加速度、力のように方向を持つ物理量を表すために考案されたものであるので、物理学との関連が深い。量子力学では系のとりうる状態をベクトル空間で表す。
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[編集] 定義
K は四則演算が自由にできる集合（以下、体と称する）とする。実数全体、複素数全体あるいは有理数全体のなす集合などはそれぞれそのような集合の例である。
体 K 上のベクトル空間 V とは、
- V には和あるいは加法と呼ばれる演算 "+" が定義されていて、この和についてアーベル群になる。つまり、
- K の元 c と V の元 v が与えられたとき、v のスカラー c 倍と呼ばれる演算 cv ∈ V が定義されている。つまり、
なる条件を満足する集合（代数系）のことである。V の元をベクトル、K の元をスカラーと呼ぶ。
K 上のベクトル空間 V について、「 V は K に係数を持つ」、「K を V の係数体とする」あるいは「V は K 上定義される」などとも言いまわす。また簡単に K-ベクトル空間などとも呼ぶ。実数体上のベクトル空間を実ベクトル空間といい、複素数体上のベクトル空間を複素ベクトル空間という。
- ベクトルとスカラーが異なるということを明示的に表すために、しばしばこれらを表す文字の種類を異にして記す。代表的な記法として、「ベクトルにボールド体（太字）を用い、スカラーにはイタリック体（斜体字）を用いる」「ベクトルをラテンアルファベットで表し、スカラーはグリークアルファベット（ギリシャ文字）で表す」などの流儀がある（ただし、必ずしもこれらに限るものではなく、場合によってはまったく文字種の区別をしないこともある）。ここではベクトルをボールド、スカラーをイタリックにする流儀に合わせた。
[編集] 基底の存在と次元
ベクトル空間 V の部分集合で、互いに線型独立な要素からなる集合（線型独立系）を考える。ある自然数 n について、V 内の線型独立系がすべて高々 n 個の元からなっているならば V の次元は高々 n であるといい、このような自然数 n がとれるとき、V は有限次元であるという。 ベクトル空間 V が高々 n 次元であってなおかつ高々 n − 1 次元でないとき、V の次元を n と定める。また、任意の自然数 n について、ベクトル空間 V に n 個の元からなる線型独立系が存在するとき、V は無限次元である、あるいは V の次元は無限大であるという。ベクトル空間 V の次元は dim V あるいは（体 K 上のベクトル空間としての次元であることを明示するために）dimK V とあらわす。
ベクトル空間 V における、係数体 K 上の基底あるいは一意生成系とは、次の条件を満たすような V のベクトルの集合 S のことである。
- S は V を K 上生成する。
- V のベクトルの S の線型結合としての表示はただ一通りである。
ただし、零ベクトルのみからなるベクトル空間 {0} は空集合から生成されるものとする。一意生成系であるという条件は（体における除法可能性により）、S が V の線型独立系のうち包含関係に関して極大なもの（極大線型独立系）であるという条件、あるいは S は V の生成系のうち包含関係に関して極小なもの（極小生成系）であるという条件と同値である。ベクトル空間が一つ与えられたとき、その基底の取り方は一つとは限らないが、基底の濃度は一定で、特に有限次元ベクトル空間の基底の濃度は次元の値 dimK V と一致する。無限次元ベクトル空間についてもその次元を基底の濃度のことであると定義して次元の大きさを区別することがある。基底が極大線型独立系であるという条件からは、ツォルンの補題（これは ZF のもと選択公理に同値）を用いることにより「全てのベクトル空間は基底をもつ」という事実が従い、またこれにより任意のベクトル空間に対して次元が定義可能であることがわかる。
[編集] 様々なベクトル空間
Rn や Cn のような数ベクトル空間に対して
のような基底を標準基底という。数ベクトル空間 Rn または Cn は n 次元ベクトル空間である。
自明な部分空間 {0} もベクトル空間である。0 + 0 = 0, c0 = 0 とすればよい。次元は 0。
複素数全体の成す集合としての C は {1, i } を基底として実数体 R 上の 2 次元ベクトル空間とみなせる。一般に体の拡大 L / K が与えられたとき、拡大体 L はその加法と部分体 K の元の（L での）積をスカラー乗法として K 上のベクトル空間になる。たとえば R は部分体として有理数体 Q を含むから、Q 上のベクトル空間である。R の Q 上の基底はハメル基底と呼ばれ、非可算無限の濃度を持つ。
S を集合とし、V をベクトル空間とするとき、S から V への写像全体はベクトル空間になる。その特殊な例として、K-ベクトル空間 V から K-ベクトル空間 W への線型写像全体も K-ベクトル空間になる。このベクトル空間を HomK(V,W) と表す。K が明らかであるときは単に Hom(V,W) と書くこともある。W=K のとき、HomK(V,K) は双対ベクトル空間と呼ばれる。
計量ベクトル空間（内積の定義されているベクトル空間）に対して、基底に含まれるどの二つのベクトルの内積も 0 であるとき、その基底を直交基底という。さらに全ての基底ベクトルのノルムが 1 であれば、その基底の組を正規直交基底という。 ヒルベルト空間
- n×n行列の全体は行列の和と実数倍でベクトル空間となる。
- 区間[a,b]上の連続関数の全体、R上の無限回微分可能な関数の全体なども関数の和と実数倍に関してベクトル空間をなす。
- 実数（あるいは複素数）列の全体、収束する実数（あるいは複素数）列の全体などは数列の和と実数倍に関してベクトル空間をなす。
- 実数または複素数を係数とする一変数多項式の全体、あるいはn次以下の一変数多項式の全体などは多項式の和と実数倍に関してベクトル空間をなす。
- k階斉次線型常微分方程式
の解全体は、関数の和と実数倍に関してベクトル空間をなす。
[編集] 部分空間と線型写像
[編集] 基底変換と行列
V と W をどちらも基底の定められた有限次元のベクトル空間とする。基底をそれぞれ <e1, ..., en>, <f1, ..., fm> とする。このとき、V から W への線型写像 T は、
とするとき、任意の V のベクトル v = c1e1 + … + cnen に対してその値が
のように決まる。v を列ベクトル (c1, ..., cn) と同一視し、f(v) を fi の成分を第 i 成分とする行ベクトルと同一視すれば、このことは (m, n) 行列 (aij) に対して v を右から掛けていることに他ならない。
線型写像を合成することが、行列の積に対応していることも分かる。このようにして、基底を与えることで、線型写像を行列として取り扱うことが出来る。
[編集] 一般化
体上のベクトル空間の概念は、係数として適当な環を考えることにより環上の加群に一般化される。非可換な環を係数とする場合には、スカラー乗法も左右が区別される。特に、非可換な（多元）体を係数にとるとき、スカラー乗法の左右を区別して左ベクトル空間、右ベクトル空間の概念が定義される。
一つのベクトル空間の張り合わせによってできる幾何学的な対象の一つにアフィン空間がある。原点を固定して座標を入れればベクトル空間が現れる。ユークリッド空間はこのような空間の一種である。
