標数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』

合同式の標数は指数 (初等整数論)を参照。
多面体あるいは胞複体の標数はオイラーの多面体定理・オイラー標数を参照。

標数（ひょうすう、characteristic）は、環あるいは体の一つの特徴を表す非負整数。整域の標数は 0 または素数に限られる。

[編集] 定義

R を単位元を持つ環（単位的環）、1_R をその乗法単位元とする。また、正整数 n に対し

${n\,1_R := \underbrace{1_R + 1_R +\cdots + 1_R} \atop {\qquad n \mbox{ times}}}$

と定めるとき、 n 1_R = 0_R （0_R は R の零元）なる整数 n > 0 が存在するならば、その最小値を環 R の標数という。他方、このような n が存在しないとき、環 R の標数は 0 と定める。標数が 0 でないことを表すのに正標数という用語を用いることもある。環 R の標数をしばしば ch(R), char(R) のように記す。

[編集] 素整域・素体

R を任意の単位的環とする。単位的環 R の（単位的環としての）部分環は必ず単位元 1_R を含む。したがって、1_R の生成する環は全ての部分環に含まれ、R の最小の部分環となる。単位元 1_R の生成する単位的環を単位的環 R の素環（そかん、prime ring）という。ここで、写像

$\varphi_R\colon \mathbb{Z} \to R;\, n \mapsto n\,1_R$

を 0 および負の整数 m = −n (n > 0) に対しては

$\varphi_R(0) = 0_R,\quad \varphi_R(m) = -(n\,1_R)$

と定めることによって定義する。このとき、φ_R は環の準同型を定め、像 φ_R(Z) = {n 1_R | n ∈ Z} は素環に一致する。一方、準同型 φ_R の核 Ker(φ_R) = {n ∈ Z | n 1_R = 0} は Z のイデアルを成すが、Z はユークリッド整域ゆえ、Ker(φ_R) は単項イデアルで、その正の生成元はそのイデアルに属する最小元、つまり R 自身の標数 char(R) に一致する。以上より、環の準同型定理により R の素環は m = char(R) を法とする剰余環 Z / m Z に同型である（ただし Z 自身は 0 を法とする剰余環と見なす）。

さらに単位的環 R が整域であるとき、素環 φ_R(Z) は整域を成す。これを整域 R の素整域と呼ぶ。像が整域であることから、この準同型 φ_R の核は Z の素イデアルで、したがって {0} または素数 p の生成する単項イデアル (p) = p Z の形に書ける。ゆえに、いずれの整域についてもその標数は 0 か素数に限られる。

素体（そたい、prime field）は自分自身以外に部分体を持たない体のことである。体は整域であるから、上で見たことから F が正標数 p の体ならば F は必ず Z / p Z に同型なる素整域を含む。一方、Z / p Z は体であるので、正標数の体の素整域はそれ自身が素体となる。F の標数が 0 の場合には、有理整数環 Z が F に含まれるが、商環の普遍性により Z の商体である有理数体 Q に同型なる体が F に含まれる。よって Q は標数 0 の素体である。ゆえに、素体は Q および Z / p Z （p は素数）によって（同型の違いを除いて）すべて尽くされているということができる。また、ここから標数 0 の体は必ず Q を含むので無限体であり、有限体は必ず正標数を持つことも確認できる。

[編集] 例

順序体の標数は 0 である。
有限体 F の位数が素数 p の冪 p^f ならば、F の標数は p である。逆に、標数 p の有限体の位数は必ず p の冪になる。
有限体 F 上の多項式環 F[x] やローラン級数体 F((x)) などは正標数の無限整域・無限体の例である。

[編集] 性質

ある環 R とその任意の部分環 S に対して、S の標数は R の標数に等しい。一方、剰余環の標数は元の環の標数に等しいとは限らない。例えば、p-進整数環 Z_p は Z を部分環として含み、標数 0 であるが、その唯一の極大イデアル p Z_p による剰余環は Z / p Z に同型で標数は p である。