随伴行列

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数学において、複素行列の随伴行列（ずいはんぎょうれつ、adjoint matrix）とは、転置行列の成分をすべて共軛複素数に取り替えた行列のことである。共軛転置行列（きょうやくてんちぎょうれつ、conjugate transpose matrix）ともいう。

目次 1 定義 2 諸概念 3 性質 4 関連項目

[編集] 定義

成分が複素数である m 行 n 列の行列 A = (a_ij) に対し、n 行 m 列の行列

を A の随伴行列と呼ぶ。ここで、複素数 α に対し α は α の共軛複素数を表す。A^* は A^H, A^{† などとも記す。 例えば}

^{の随伴行列は}

^である。

^{[編集] 諸概念}

• ^{<·, ·> で複素ベクトル空間の内積（エルミート内積）を表すとき、<Ax, y> = <x, A*y> が成り立つ。この意味で、随伴行列のことをエルミート共軛とも呼ぶ。とくに、正方行列 A が自己共軛であるとは A = A* が成り立つことである。このとき A はエルミート行列と呼ばれる。}
• 正方行列 A が A = −A^* を満たすとき、A を歪エルミート行列という。
• A^*A = AA^* を満たす正方行列 A を正規行列という。

[編集] 性質

• A を任意の行列とすると A = (A^*)^* が成り立つ。
• 行列 A, B に演算が定義される限りにおいて、 (A + B)^* = A^* + B^*, (AB)^* = B^*A^* が成り立つ。
• 行列 A とスカラー k に対して (kA)^* = kA^* が成り立つ。

• 行列 B の成分が全て実数であるときには B の随伴行列 B^* は転置行列 B^T に等しい。
• 必ずしも正方行列とは限らない行列 A に対し、 正方行列 A^*A, AA^* はともに半正定値エルミート行列となる。

[編集] 関連項目

• 転置行列
• 反傾行列
• ユニタリー行列