대수학의 기본 정리

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대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理 ; fundamental theorem of algebra)란 모든 n차 복소 다항식은 중근까지 세어 n개의 영을 갖는다는 사실을 말하는 정리이다. 수학적으로 쓰면, 만약

p(z) = zⁿ + a_n-1z^n-1 + ... + a₀

(여기서 계수 a₀, ..., a_n-1 는 모두 실수 혹은 복소수), 그러면, (서로 다를 필요는 없는) 복소수 z₁, ..., z_n 가 존재하여, 다음을 만족시킨다.

p(z) = (z - z₁) (z - z₂) ... (z - z_n).

이 정리는 복소수체가 실수체와는 달리 대수적으로 닫혔다는 사실을 말한다. 간단히 볼 수 있는 결과로 모든 근의 곱이 (-1)ⁿ a₀ 과 같고, 모든 근의 합은 -a_n-1 과 같다는 사실을 알 수 있다.

17세기에 벌써 이 정리가 옳으리라 예측했었다. 그러나, 당시엔 복소수의 개념이 확실히 정립되어있지 않아 증명되지 못했다. 최초로 증명에 성공한 것은 19세기 초에 가우스(Carl Friedrich Gauss)에 의해서였다. (그 이전에 달랑베르(d'Alembert)가 거의 완전한 증명을 내 놓았다.) 가우스는 생애동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 정리는 순전히 대수적인 방법으로도 가능하지만, 요즘은 복소해석학에 바탕을 둔 증명이 더 널리 쓰인다.