गणित
Wikipedia कडून
मोजणी, संरचना, अवकाश आणि बदल या संकल्पनांवर आधारीत असलेली आणि त्यांचा अभ्यास करणारी गणित ही ज्ञानाची एक शाखा आहे. गणितास योग्य निष्कर्ष काढण्याचे शास्त्र असे पाश्चात्य विद्वानमानतात. गणित प्रतिमानांचे (पॅटर्न) शास्त्र असून गणिती हे संख्या, अवकाश, विज्ञान, संगणक, अमूर्त कल्पना आणि तत्सम ठिकाणी प्रतिमान शोधतात हे असे या शास्त्राचा वापर करणारे म्हणतात.
नवीन सुकल्प मांडण्याच्या व त्यातील तथ्य मूळवाक्ये आणि व्याख्यांपासून कठोर तर्काद्वारे सिद्ध करण्यासाठी गणिती अशा संकल्पनांचा धांडोळा घेतात.
अमूर्तता आणि तर्क यांच्या वापराने मोजणी, आकडेमोड, मापन यांपासून गणित भौतिक जगतातील आकार आणि कृती यांच्या शिस्तबद्ध अभ्यासात विकसित पावले. गणिताचे ज्ञान व वापर हा नेहेमीचव्यक्ती आणि समाज या दोन्ही पातळींवर जीवनाचा अविभाज्य भाग होता. मूळ कल्पनांचा विकास होतांना प्राचीन भारत, प्राचीन ग्रीस, इजिप्त, मेसोपोटॅमिया, प्राचीन चीन, इत्यादी संस्कृतींमध्ये सापडलेल्या
गणितावरील ग्रंथात दिसून येतो. पाश्चात्य इतिहासाकारांना गणितावर कठोर तर्कट चालवण्याची पद्धत लिखित स्वरूपात युक्लिडच्या इलिमेंटस् या ग्रंथात सर्वप्रथम मिळाली. सोळाव्या शतकाच्या रेनैसन्सचळवळीच्या काळापर्यंत गणिताचा विकास कमी-अधिक मगदूराने झालेला दिसतो. रेनैसन्स ही एक बौद्धिक चळवळ होती ज्यांत गणित आणि विज्ञानातील नवीन शोधांची सुयोग्य सांगड यशस्वीरित्याघालण्यात आली, ज्याच्या योगाने संशोधनाचा वेग वाढण्याचा घटनाक्रम आजवरही अबाधित राहीला आहे.
आज गणित हे जगभर विज्ञान, अभियांत्रिकी, औषधी तसेच अर्थशास्त्र अशा समाजशास्त्राच्या शाखा अशा ज्ञानाच्या विविध शाखांमध्ये वापरले जाते. या शास्त्रात गणिताचा वापर करणारी गणिताचीचउपयोजित गणित ही शाखा नवीन गणिती शोधांना प्रेरणा देते आणि त्यांचा वापर करते. यामुळे ज्ञानाच्या सर्वस्वी नवीन शाखाही उदयास येतांत. कलेसाठी कला या न्यायाने केवळ गणितासाठी गणित अशाध्येयाने शुद्धगणिताचा अभ्यास करणारे गणितीही आहेत. सहसा, अशा शुद्धगणितातील शोधांचा कालांतराने उपयोजित गणितात वापर कसा करावा त्या पद्धतींचा शोध लागतोच.
अनुक्रमणिका |
[संपादन] व्युत्पत्ती
गणिताशी संबंधीत इंग्रजी शब्दाची व्युत्पत्ती ग्रीक भाषेतून आलेली आहे. मराठीतील गणित या शब्दाची व्युत्पत्ती "गणन" वरून असे वाटते. यावर व्याकरणकार अधिक प्रकाश टाकू शकतील.
[संपादन] इतिहास
गणिताचा विकास अमूर्त संकल्पनांच्या चढत्या भाजणीतून किंवा विषयाच्या विस्तारातून झाला असे मानता येईल. संख्या अमूर्ततेची पहिली पायरी होत. दोन संत्री आणि दोन सफरचंदांमध्ये (दोनत्वाचे)काहीतरी साम्य आहे ही मानवी प्रज्ञेची महत्त्वाची उडी होती. भौतिक वस्तूंची मोजदाद करण्याशिवाय प्राचिन लोकांना काळासारख्या अमूर्त कल्पना (जसे दिवस, महिने वर्ष) कसे मोजावे याचेही ज्ञान होते.अर्थातच अंकगणितादी क्रिया जसे बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार येणे क्रमप्राप्तच होते. प्राचिन काळातील भव्य वास्तू भूमितीची साक्ष देतात.
पुढच्या पावलांसाठी लेखनाची किंवा संख्यांची नोंद करण्याची पद्धत आवश्यक ठरते. पडताळ्याच्या रेघा किंवा इंका साम्राज्यातील क्विपू नावाच्या गाठ मारलेल्या दो-या वापरून संख्यात्मक माहितीची नोंदठेवल्या जात असे. जगभर विविध संख्यापद्धती प्रचलित होत्या.
लिखित इतिहासाच्या प्रारंभापासूनच कर आणि वाणिज्याशी संबंधित व्यवहारांची आकडेमोड करण्यासाठी, संख्यांचा परस्परसंबंध समजण्यासाठी, जमिनीची मोजणी करण्यासाठी आणि खगोलीय घटनांचा वेधघेण्यासाठी गणिताची निकड भासली. यावरून मोजणी, संरचना, अवकाश आणि बदल यांच्या अभ्यासाचा गणिताच्या शाखांशी स्थूलरूपाने संबंध जोडता येतो.
आता विज्ञान आणि गणित यांचा एकमेकांशी परस्पर पोषक संबंध आला असून हल्लीचे गणित अतिशय विकसित आहे. ऐतिहासिक काळापासूनच गणितात विविध शोध लागले आणि हे चक्र सुरूच आहे.
अमेरिकन गणिती संघटनेच्या जानेवारी २००६ च्या वार्तापत्रातील मिखाईल बी. सेव्हरिक यांच्या लेखानुसार संघटनेच्या मॅथॅमॅटिकल रिव्ह्यू या विदागारात, त्याच्या प्रथम वर्षापासून म्हणजेच इसवी सन १९४०पासून १९ लाख पुस्तके आणि सुबंध होते. दरवर्षी त्यांत ७५ हजार नवीन रचना जोडल्या जातात. यातील बहुतांश कृती या नवीन प्रमेये आणि त्यांच्या सिद्धतांशी संबंधित आहेत.
[संपादन] प्रेरणा, शुद्ध व उपयोजित गणित, आणि सौंदर्यशास्त्र
जेव्हा मोजणी, संरचना, अवकाश आणि बदल यांच्याशी संबंधित क्लिष्ट समस्या उभ्या ठाकतात तेव्हा गणित प्रगटते. प्राचिन काळी जमीनीची मोजणी, कर, खगोलशास्त्र इत्यादींमध्ये या समस्यांची सुरूवातझाली. आज विज्ञानातील सर्व शाखांत निर्माण होणा-या समस्या गणिताच्या वापरासाठी पुढे येतात. तसेच, खुद्द गणितातही अनेक मनोरंजक समस्या प्रगटतात. अनंताश्रयी कलनाचा शोध लावणा-यांपैकीन्यूटन हा एक मानला जातो. फेनमन पथ कलनाचा शोध फेनमनने भौतिकशास्त्रातील अंतर्दृष्टी आणि तर्काच्या सहाय्याने लावला. सांप्रत काळी भौतिकशास्त्रात, ब्रह्मांडशास्त्र यांच्याशी संबंधित तंतूसिद्धांतामुळे गणितात नवनिर्मिती होत आहे. गणिताचा काही भाग हा एखाद्या विशिष्ट शाखेशीच निगडीत असतो आणि तेथेच त्याचा वापर होतो. परंतू, बहुतांश वेळेस ज्ञानाच्या एखाद्या शाखेतील प्रेरणेने विकसित झालेलेगणित इतर शाखांमध्येही उपयोगी पडते आणि गणितातील विविधोपयोगी भव्य कोठाराचा भाग बनते. अगदी शुद्धतम गणिताचा सुद्धा उपयोजित शाखांमध्ये कुठे ना कुठे उपयोग होतोच. या अद्भुत सत्याला स्तिमित होऊन यूजीन विगनर या भौतिकीतील शास्त्रज्ञाने गणिताची अतर्क्य कार्यक्षमता ([इंग्रजी दुवा]) असे संबोधले आहे.
ज्ञानाच्या इतर शाखांप्रमाणेच गणिताच्या दैदिप्यमान विकासामुळे त्यांतही वैशैषिकरण झाले आहे. एक ठळक फरक म्हणजे शुद्ध गणित आणि उपयोजित गणित या दोन प्रमुख शाखा होत. गणिताच्या नानाउपयोजित शाखांचा गणिताबाहेरील परंपरांशी संगम होऊन सांख्यिकी, क्रियन संशोधन आणि संगणन विज्ञाना अशा अनेक नवीन विषयांची निर्मिती झाली आहे.
अनेक गणिती, गणिताच्या नेटकेपणाबद्दल म्हणजेच त्याच्या कलात्मक आणि उस्फूर्त सौंदर्याबद्दल बोलतात. साधेपणा आणि व्यापकत्वास विशेष महत्त्व दिल्या जाते. चतुर सिद्धता (जसे मूळ संख्या अनंतअसल्याची यूक्लिडची सिद्धता) किंवा आकडेमोड सोपी करण्याच्या पद्धती (जसे चपळ फोरियर रूपांतर) यांतही सौंदर्य आहे. जी. एच. हार्डीने "एका गणितीचे वक्तव्य" या आपल्या पुस्तकात म्हटले आहे कीसौंदर्याचे हे निकषच शुद्धगणिताचा अभ्यास करण्यासाठी पुरेसे आहेत. नेटक्या प्रमेयांच्या सिद्धता शोधण्यासाठी गणिती विशेष प्रयत्न करतात. पॉल इरडॉजने या प्रकारास "देवांच्या गणितविषयावरील आवडत्या पुस्तकातील प्रमेयांचा शोध" असे म्हटले आहे. ब-याच लोकांना गणिती समस्या उकलण्यास आवडते हेच रंजन गणिताची लोकप्रियता दर्शवते.
[संपादन] नोटेशन, भाषा आणि तर्काधिष्ठता
गणितात हल्ली वापरल्या जाणा-या नोटशनपैकी बरेचसे सोळाव्या शतकापर्यंत शोधल्या गेले नव्हते. त्या आधी गणित हे शब्दांत व्यक्त केल्या जात असे, ज्याच्या बोजडपणामुळे गणिताचा फारसा विकासहोऊ शकला नाही. आधुनिक नोटेशनमुळे तज्ञांसाठी गणित सोयीचे, परंतू, नवशिक्यासाठी अधिक क्लिष्ट झाले आहे. आधुनिक नोटेशन अतिशय संक्षिप्त आहे - मोजक्याच मूळाक्षरांमध्ये प्रचंड माहिती देतायेते. पाश्चात्य संगिताच्या नोटेशनप्रमाणेच गणिताच्या नोटेशनचे कडक नियम असून ते अशा प्रकारची माहिती लिखित रूपात व्यक्त करते, जी इतर कोणत्याही पद्धतीने करणे जवळजवळ अशक्यच आहे.
नवशिक्यांसाठी गणिताची भाषासुद्धा अंमळ क्लिष्टच आहे. अगदी साधेसुधे शब्दांनाही (किंवा, केवळ) गणितात दैनंदिन व्यवहारापेक्षा अधिक नेमका अर्थ असतो. तसेच कित्येक शब्द, जसे उघड आणि क्षेत्र,यांना गणितात विशेष अर्थ असतो. तसेच गणितात सारणिक आणि कलनीय अशा तांत्रिक संज्ञाही आहेत. या विशेष नोटेशन आणि तांत्रिक संज्ञांमागे एक मोठेच कारण आहे. ते म्हणजे, गणिताला दैनंदिनव्यवहारातील बोलीपेक्षा अधिक नेमकेपणा लागतो. भाषेच्या आणि तर्काच्या या नेमकेपणांस गणिती "काटेकोरपणा" म्हणतात.
मूलतः काटोकोरपणा हे गणितातील सिद्धतांसाठी आवश्यक आहे. शिस्तबद्ध कार्यकारणभाव लावून मूळवाक्यांपासून प्रमेये सिद्ध करण्याची गणितींची इच्छा असते. अंतःप्रेरणा आयत्या वेळेस दगा देऊ शकते.त्यामुळे चुकीचे सिद्धांतही मांडल्या जाऊ शकतात. असे गणिताच्या इतिहासात कित्येक वेळ झालेही आहे. हे टाळण्यासाठी काटेकोरपणा आवश्यक ठरतो. काटेकोरपणा काळानुसार कमी-अधिक झालेला आहे.
ग्रीकांच्या काळी सिद्धतांचे मुद्दे विस्तृत रितीने मांडण्यावर भर होता. न्यूटनच्या काळी काटकोरपणा त्या मानाने कमी होता. न्यूटनने वापरलेल्या व्याख्यांमधील कच्च्या दुव्यांमुळे १९ व्या शतकात काळजीपूर्वकविश्लेषण आणि औपचारिक सिद्धतांचा पुन्हा उदय झाला. संगणकाच्या मदतीने लिहिलेल्या सिद्धतां वापरल्या जाव्यात अथवा नाही यावर आजच्या गणितींमध्ये मतभेद आहेत. अतिभव्य आकडेमोडींचा पडताळाकरणे अत्यंत अवघड असल्याने अशा प्रकारच्या सिद्धतांमध्ये अपेक्षित काटेकोरपणाचा अभाव असू शकतो. परंपरेच्या दृष्टीने मूळवाक्ये ही स्वयंप्रकाशित तथ्ये होती. परंतू, या कल्पनेत ब-याच व्यावहारिक अडचणी आहेत. औपचारिक दृष्टीने पाहता, मूळवाक्य म्हणजे चिन्हांनी बनलेले केवळ एक नाम असते, ज्याचा मूळ अर्थ त्या-त्या मूळवाक्यांच्या विधीविधानातील सूत्रांच्या संदर्भातच असतो.
सगळ्याच गणितास मूळवाक्याच्या आधाराने सिद्ध करणे हे हिलबर्टच्या आज्ञावलीचे उद्दीष्ट होते. परंतू गोडेलच्या अपूर्णतेच्या सिद्धांतानुसार कुठल्याही यथोचित मूळवाक्यांच्या विधीविधानात सिद्ध न करता येण्याजोगीसूत्रे असतातच. त्यामुळे गणिताचे संपूर्ण मूळवाक्यायन अशक्य आहे. इतके असले तरी सहसा गणित हे कुठल्यातरी संच सिद्धांतातील (संचप्रवादातील) मूळवाक्यायन आहे असे या दृष्टीने मानतात की प्रत्येकगणिती वाक्य किंवा सिद्धांत ही संचसिद्धांतातील सूत्रांच्या रूपात मांडल्या जाऊ शकते.
[संपादन] गणितज्ञानातला "पाय"(π)
याबद्दलचा विस्तृत लेख येथे आहे.
ग्रीक भाषेतले अक्षर "पाय" "पाय x व्यासाची लांबी = परीघाची लांबी" ह्या वर्तुळासंबंधित समीकरणात रूढीने वापरण्यात येते आणि त्यात
पायची किंमत जवळ जवळ ३.१४१५९ आहे.
[संपादन] फर्मॅटचे "शेवटचे प्रमेय"
पिएर फर्मॅट (इ.स. १६०१ -१६६५) हे एक बुद्धिमान फ्रेंच गणिती होते. वास्तविक कायदेशास्त्राच्या शिक्षणानंतर ते सरकारी नोकरीत
वकिलीचा व्यवसाय करत असत, पण गणितशास्त्राचा अभ्यास हा त्यांचा आवडता छंद होता. " क्षन+ यन= ज्ञन "
ह्या 'साध्यासरळ' समीकरणात 'न' ह्या घाताची किंमत २ हून अधिक असा कुठलाही पूर्णांक असता
त्या समीकरणाचे समाधान करणार्‍या 'क्ष', 'य', आणि 'ज्ञ' ह्या अव्यक्तांच्या पूर्णांकात कोणत्याही किंमती नाहीत" असे एक प्रमेय आपणच
मांडून "त्या प्रमेयाची एक खास सिद्धता मी शोधून काढली आहे, पण ह्या पानावरची (छापील मजकुराभोवतीची) समासाची
जागा ती सिद्धता लिहायला अपुरी आहे" असेही फर्मॅटनी एका गणिताच्या पुस्तकात लिहून ठेवले होते!
फर्मॅट ह्यांच्या निधनानंतर हे प्रमेय "फर्मॅटचे शेवटचे प्रमेय" ह्या नावाने गणितशास्त्रात प्रसिद्धीला आले. सुमारे ३३० वर्षे ते प्रमेय सिद्ध करण्याचे किंवा ते चूक असल्याचे सिद्ध करायचे जंगी प्रयत्न अनेक
बुद्धिमान गणितज्ञांनी केले, पण त्या प्रदीर्घ काळात कोणालाही त्यात यश मिळाले नव्हते! सरतेशेवटी आंड्र्यू वाइल्स ह्या ब्रिटिश गणितज्ञाने अनेक वर्षांच्या भगीरथ प्रयत्‍नाने १९९४ साली ते प्रमेय
अचूकपणे सिद्ध केले!
काही काही लोकोत्तर बुद्धिमंतांच्या वेगवेगळ्या ज्ञानशाखांमधल्या अशा प्रचंड भरार्‍या पाहण्यात परमेश्वरदर्शन घडते.
पिएर फर्मॅट, रेने देकार्त, आणि ब्लेस पास्कॅल हे तीन श्रेष्ठ फ्रेंच गणितज्ञ समकालीन होते.
[संपादन] प्रसिद्ध गणितज्ञ
- पिएर फर्मा
- रेने देकार्त
- ब्लेस पास्कॅल
- कार्ल फ़्रिडरीश गाऊस
- लिओनार्ड ऑइलर
- बर्नार्ड रिमान
- आंड्र्यू वाइल्स
