Bijectie

Van Wikipedia

Een bijectie

In de wiskunde is een bijectie of bijectieve afbeelding een afbeelding die zowel injectief als surjectief is, en dus alle elementen van twee verzamelingen een-eenduidig aan elkaar koppelt.

De term bijectieve afbeelding werd geïntroduceerd door Bourbaki.

Inhoud

1 Voorbeelden en tegenvoorbeelden
2 Gelijkmachtigheid
3 Zie ook

[bewerk] Voorbeelden en tegenvoorbeelden

[bewerk] Voorbeeld 1

$A = {1,2,3}$
$B = { - 7,3,10}$
$f: A \to B$
$f (1) = - 7$
$f (2) = 3$
$f (3) = 10$
Deze f is een bijectie: 1 wordt aan -7 gekoppeld, 2 aan 3 en 3 aan 10. Geen enkel element uit B blijft over, en geen enkel element uit B wordt aan 2 elementen uit A gekoppeld.

[bewerk] Voorbeeld 2

$A = {1,2,3}$
$B = { - 7,3,10}$
$f: A \to B$
$f (1) = 3$
$f (2) = - 7$
$f (3) = 10$
Ook deze f is een bijectie.

[bewerk] Voorbeeld 3

$A = [2,3]$
$B = [2,4]$
$f: A \to B$
$f (x) = 2 x - 2$
Ook deze f is een bijectie. Zo wordt bijvoorbeeld 2.5 aan 3 gekoppeld, 2.9 aan 3.8, en 3 aan 4. Een andere bijectieve afbeelding tussen deze A en B is:
$g (x) = x 2 - 3 x + 4$

[bewerk] Tegenvoorbeeld 1

A = {1,2,3}
B = {-7, 3, 10}
f: A -> B
f(1)=3
f(2)=3
f(3)=10
Dit is geen bijectie, enerzijds omdat -7 niet gekoppeld wordt en anderzijds omdat 3 aan zowel 1 als 2 gekoppeld wordt.

[bewerk] Tegenvoorbeeld 2

A = [-1,1]
B = [0,1]
f: A -> B
f(x) = x^2
Dit is geen bijectie. Het is wel zo dat elk element van B gekoppeld wordt aan een element van A, maar sommige elementen van B worden aan twee verschillende elementen van A gekoppeld. Zo is bijvoorbeeld f(-1)=1, maar ook f(1)=1.

[bewerk] Tegenvoorbeeld 3

A = [0,1]
B = [0,2]
f: A -> B
f(x) = x+1
Dit is geen bijectie. Niet alle elementen uit B worden namelijk gekoppeld aan een element uit A, zoals bijvoorbeeld 0. Het is wel zo, dat de elementen uit B die gekoppeld worden aan een element van A, ook maar aan precies 1 element van A gekoppeld worden.

[bewerk] Gelijkmachtigheid

In de verzamelingenleer worden twee verzamelingen gelijkmachtig of equipotent genoemd als er een bijectie tussen de verzamelingen bestaat. Bijvoorbeeld worden de verzamelingen ${1,2,3}$ en ${4,8,12}$ gelijkmachtig genoemd omdat de afbeelding $f:\{1,2,3\}\rightarrow \{4,8,12\}$ met $f(x)=x\cdot 4$ , bijectief is. Voor eindige verzamelingen is het begrip gelijkmachtig dus precies hetzelfde als "evenveel elementen". Voor oneindige verzamelingen echter wordt het begrip "evenveel elementen" vaag, maar gelijkmachtig of equipotent niet. Cantor was de eerste die verzamelingen op deze manier met elkaar vergeleek.