Magisch vierkant

Van Wikipedia

Een magisch vierkant of tovervierkant is een vierkant schema waarin getallen zodanig zijn ingevuld dat de kolommen, de rijen en de beide diagonalen elk dezelfde som opleveren. Meestal eist men dat het vierkant de natuurlijke getallen van 1 tot en met n² bevat. Het symbool n is hierin het aantal cellen in één zijde. Soms geldt die eis niet, maar dan eist men wel dat alle getallen verschillend zijn.

In dit vierkant van 3 bij 3 is de som steeds 15:

8	3	4
1	5	9
6	7	2

Bijvoorbeeld: 8 + 1 + 6 = 15, 1 + 5 + 9 = 15 en 6 + 5 + 4 = 15

[bewerk] Melencolia

Melencolia I, 1514, gravure

Een bekend magisch vierkant komt voor op de gravure Melencolia I (melancholie) van Albrecht Dürer uit 1514; het jaartal is verwerkt in het vierkant.

Dit magisch vierkant is opmerkelijk omdat niet alleen de rijen, kolommen en diagonalen dezelfde som (het karakteristiek getal is 34) hebben, maar onder meer ook: de vier hoekpunten; de vier middelste getallen; de blokken van 2x2 getallen in de linkerboven-, rechterboven-, linkerbeneden- of rechterbenedenhoek; de twee middenste getallen in de eerste en laatste kolom resp. in de bovenste en onderste rij.

Om het karakteristieke getal te bepalen kun je de formule (N³+ N) x ½ gebruiken.
Indien je met een andere begin waarde dan 1 wil beginnen verandert de formule naar
(N³+ N) x ½ + N x(startgetal -1)

[bewerk] Onderverdeling

Er zijn verschillende types magische vierkanten:

pandiagonaal of panmagisch: bij deze vierkanten is ook de som van de subdiagonalen gelijk aan het karakteristiek getal
volkomen perfect magisch: bij deze vierkanten geldt dat binnen elk deelvierkant van $\sqrt n$ bij $\sqrt n$ de som der getallen gelijk is.
Franklin magisch vierkant, dat strikt genomen geen magisch vierkant is.

[bewerk] Een magisch vierkant maken

[bewerk] Methode voor elke oneven orde

Zet het getal 1 in de middelste kolom op de hoogste rij. Het volgende getal wordt geplaatst, 2 rijen lager en 1 naar rechts. Dit gaat verder tot je een getal wil plaatsen waar al een getal staat.

 x   x   1   x   x         Nu zou je de 6 op de plek van 1 moeten zetten, 
 4   x   x   x   x         maar dat gaat niet dus plaats je de 6 onder de 5. 
 x   x   x   2   x         
 x   5   x   x   x         
 x   x   x   x   3

 x   x   1   x   9        
 4   x   7   x   x         Waarna je weer doorgaat met 2 rijen lager en 1 
10   x   x   2   x         kolom naar rechts tot je de 11 in de 6 wil zetten. 
 x   5   x   8   x         Dan zet je de 11 onder de 10, enzovoorts.
 x   6   x   x   3

Dan krijg je uiteindelijk:

23  12   1  20   9        
 4  18   7  21  15  
10  24  13   2  16
11   5  19   8  22
17   6  25  14   3

Deze techniek werkt voor alle oneven vierkanten.

[bewerk] Orde is viervoud

diagonaalmethoden

De simpelste methode is het vierkant invullen met de opeen volgende getallen van 1 tot N. Bij een 8x8 vierkant

 1   2   3   4   5   6   7   8        De normale wijze van nummering.
 9  10  11  12  13  14  15  16
17  18  19  20  21  22  23  24
25  26  27  28  29  30  31  32
33  34  35  36  37  38  39  40
41  42  43  44  45  46  47  48
49  50  51  52  53  54  55  56
57  58  59  60  61  62  63  64

64  63  62  61  60  59  58  57         De omgekeerde wijze van nummering.
56  55  54  53  52  51  50  49      
48  47  46  45  44  43  42  41
40  39  38  37  36  35  34  33
32  31  30  29  28  27  26  25
24  23  22  21  20  19  18  17
16  15  14  13  12  11  10   9
 8   7   6   5   4   3   2   1

Dan neem je de normale wijze van invullen en laat je de nummers weg om een vierkant structuur te maken. Rekening houdend met het feit dat ieder weggelaten vierkant 2x2 is. Hierbij is het tevens belangrijk dat er geen gehele vierkanten tegen de rand van het vierkant aankomen. Dan krijg je bijvoorbeeld.

 1   x   x   4   5   x   x   8
 x  10  11   x   x  14  15   x
 x  18  19   x   x  22  23   x
25   x   x  28  29   x   x  32
33   x   x  36  37   x   x  40
 x  42  43   x   x  46  47   x
 x  50  51   x   x  54  55   x
57   x   x  60  61   x   x  64

Vervolgens vul je de x'en op met de missende getallen in omgekeerde wijze. Waardoor dit magisch vierkant ontstaat.

 1  63  62   4   5  59  58   8
56  10  11  53  52  14  15  49
48  18  19  45  44  22  23  41
25  39  38  28  29  35  34  32
33  31  30  36  37  27  26  40
24  42  43  21  20  46  47  17
16  50  51  13  12  54  55   9
57   7   6  60  61   3   2  64

Deze methode werkt voor alle veelvouden van 4.

methode van de la Hire

[bewerk] Orde even maar geen viervoud

methode van Strachey.
methode van de la Hire.

[bewerk] De "medjig"-methode (Willem Barink), voor alle even orden groter dan vier

Deze methode is toepasbaar voor alle even orden groter dan vier. Je hebt daarbij de speeltegeltjes van de medjig-puzzel nodig. Dat zijn in vier kwadranten verdeelde vierkantjes, waarop met stippen de getallen 0, 1, 2 en 3 zijn weergegeven, in alle mogelijke volgorden. De puzzel (uitgeverij PhilosSpiele; alleen in speciale, meer educatieve spellenwinkels te koop) bestaat uit 18 tegeltjes, alle 6 mogelijke volgorden zijn 3 maal aanwezig. Uiteraard is de puzzel gemakkelijk met wat huisvlijt, karton, schaar en viltstift zelf te maken. De volledige set bestaat uit drie keer de volgende zes tegeltjes.

Het construeren van een magisch vierkant van orde 6 gaat dan als volgt. Maak een willekeurige medjig-oplossing. Dat is een vierkant van 3 bij 3 tegeltjes waarin de som van de stippen in alle ontstane rijen, kolommen en diagonalen 9 is. Door de ruime keus aan benodigde volgorden is dit geen moeilijke opgave (bij het echte medjig-puzzelen moet je het met negen van te voren uitgenomen speelvierkantjes doen, dan is het wel moeilijk). Neem het klassieke magische vierkant van orde 3 (zie boven) en breid het uit tot een vierkant van orde 6 door elk getal horizontaal en vertikaal te dubbelen. Vermenigvuldig het medjig-vierkant met 9 en tel het op bij het gedubbelde klassieke magische vierkant. Oplossingen te kust en te keur. Zie onderstaand voorbeeld.

8	8	3	3	4	4
8	8	3	3	4	4
1	1	5	5	9	9
1	1	5	5	9	9
6	6	7	7	2	2
6	6	7	7	2	2

+ 9 *

26	35	3	21	4	22
17	8	30	12	31	13
28	10	14	23	27	9
1	19	5	32	36	18
33	24	25	7	2	20
6	15	34	16	11	29

Op dezelfde manier kun je magische vierkanten van de orde 8 maken. Construeer daarbij eerst een medjig-oplossing van 4 bij 4 zodanig dat de som van de stippen in elke rij, kolom of diagonaal 12 is. Dit blijkt ook vrij eenvoudig te zijn. Breid nu één van de bekende magische vierkanten van de orde 4 modulo-16 uit naar 64. Evenzo orde 10. Construeer daarbij met twee setjes medjig-stenen eerst een medjig-oplossing van 5 bij 5.

Ook orde 12 is geen probleem. Je gaat daarbij uit van een magisch vierkant van orde 6 (wat je zojuist gemaakt hebt). Verdubbel horizontaal en verticaal een medjig-oplossing en breid modulo-36 uit volgens de ontstane medjig-matrix. Idem orde 16, enz.

[bewerk] Zie ook

HSA magisch vierkant, een magisch vierkant van 12 bij 12 waarmee drie scholieren in maart 2007 in het nieuws kwamen.

[bewerk] Externe links

Categorieën: Getaltheorie | Puzzel | Recreatieve wiskunde