Magisches Quadrat
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| Yang Hui-Quadrat |
Ein magisches Quadrat ist eine quadratische Anordnung von Zahlen oder Buchstaben, wobei bestimmte Forderungen zu erfüllen sind.
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[Bearbeiten] Zahlenquadrate
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| Jaina-Quadrat |
Ein magisches Quadrat mit Zahlen (auch Hexeneinmaleins) ist eine mathematische Knobelei, bei der eine bestimmte Menge von Zahlen, mit normalerweise fortlaufenden Werten, in einem Quadrat angeordnet werden. Dabei sollen die Summen aller Zeilen und Spalten gleich sein. Eine strengere Forderung ist, dass auch noch die Summen der Diagonalen mit den Zeilen- und Spaltensummen übereinstimmt. Ein Beispiel ist das Saturn-Siegel aus China mit der Summe 15:
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4 9 2 3 5 7 8 1 6
[Bearbeiten] Spezialfall 4×4 Zahlenquadrate
Berühmt ist das 4×4 magische Quadrat in Albrecht Dürers Kupferstich Melencolia I
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Bemerkenswert ist hier, dass nicht nur Zeilen, Spalten und Diagonalen immer dieselbe Summe liefern (34), sondern auch jeder der vier Quadranten — also 16 + 3 + 5 + 10 = 34, 2 + 13 + 11 + 8 = 34, usw. — die vier Zentrumsfelder (10 + 11 + 6 + 7 = 34) und die vier Eckfelder (16 + 13 + 4 + 1 = 34); wie wir noch sehen werden, ist dies kein Zufall. Dürer stach das Bild im Jahre 1514, was ihm Anlass war, das auch im magischen Quadrat festzuhalten.
Die 4×4 magischen Quadrate, bei denen auch die Quadranten die magische Summe ergeben, können — wenn man auf die Eigenschaft, dass jede der Zahlen von 1 bis 16 genau einmal vorkommen soll, verzichtet — als Linearkombination der folgenden acht erzeugenden Quadrate dargestellt werden:
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Man beachte, dass diese acht erzeugenden Quadrate nicht linear unabhängig sind, denn
- A + D + E + H = B + C + F + G
d. h. es gibt eine nicht-triviale Linearkombination (eine Linearkombination, deren Koeffizienten nicht alle = 0 sind), die das 0-Quadrat ergibt. Anders ausgedrückt: jedes der acht erzeugenden Quadrate lässt sich als Linearkombination der übrigen sieben darstellen. Sieben erzeugende Quadrate sind aber nötig, um alle magischen 4x4 Quadrate mit der Zusatzeigenschaft „Quadranten“ [1] zu erzeugen; der Vektorraum der magischen 4x4 Quadrate, die von diesen Quadraten erzeugt wird, ist in diesem Sinn 7-dimensional.
Bemerkenswert ist, dass in allen acht erzeugenden Quadraten A–H wie in Albrecht Dürers magischem Quadrat nicht nur Zeilen, Spalten und Diagonalen immer dieselbe Summe liefern (1), sondern auch jeder der vier "Quadranten", die vier Zentrumsfelder und die vier Eckfelder. Das heißt, dass alle magischen Quadrate, die wir als Linearkombinationen dieser Erzeugenden gewinnen, diese Eigenschaft haben.
Das magische Quadrat aus dem Kupferstich "Melencolia I" Albrecht Dürers als Linearkombination der erzeugenden Quadrate A–G:
Die Summe der Koeffizienten ist natürlich 34 = –4 +8 +14 –5 –1 +6 +16.
Dass die 4 Quadranten auch die magische Summe ergeben, muss nicht unbedingt so sein. Folgendes magische Quadrat hat diese Eigenschaft nicht und ist daher linear unabhängig zu den Quadraten A-H:
-
1 2 15 16 13 14 3 4 12 7 10 5 8 11 6 9
Nimmt man dieses Quadrat noch zu 7 der Quadrate A-H so erhält man eine Basis für den 8-dimensionalen Vektorraum aller magischen 4×4 Quadrate. Die Summe der Ecken und der vier Zentrumsfelder ist auch bei diesem Quadrat (wie bei allen magischen 4×4- Quadraten) die magische Summe.
[Bearbeiten] Konstruktion magischer Quadrate
Zur Konstruktion magischer Quadrate gibt es drei verschiedene Verfahren, die von der Kantenläge abhängen. Das einfachste Verfahren funktioniert für alle magischen Quadrate mit ungerader Zahl von Feldern (also 3×3, 5×5, 7×7 etc.). Man fängt oben in der Mitte mit 1 an und füllt dann die anderen Zahlen der Reihe nach gemäß der folgenden Regel in die anderen Felder ein:
- Wenn im Feld oben rechts vom zuletzt ausgefüllten Feld noch keine Zahl steht, dann trage die nächste Zahl dort ein, sonst trage die nächste Zahl im Feld unter der aktuellen Zahl ein.
Hierbei wird das magische Quadrat als periodisch wiederholt angesehen, d. h. wenn man über den oberen Rand hinausgeht (das passiert schon beim ersten Schritt), kommt man von unten wieder hinein, und wenn man rechts hinausgeht, dann kommt man von links wieder hinein. Hier ein nach dieser Regel konstruiertes 7x7-Quadrat:
-
30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 5 14 16 25 34 36 45 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20
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| Keilschrift-Quadrat |
Die beiden weiteren Verfahren sind für Quadrate mit gerader Kantenlänge, wobei das eine für alle Quadrate ist, deren Kantenlänge durch 4 teilbar ist, das andere für die, bei denen der Rest 2 beim Teilen durch 4 bleibt.
Ein spielerisches Verfahren zur Konstruktion magischer Quadrate gerader Ordnungen > 4 geht mit Hilfe von Medjig-Lösungen. Hierzu braucht man die Spielteile des Medjig-Puzzles (Philos-Spiele, Art-Nr 6343). Das sind in vier Quadranten verteilten Quadrate, worauf mit Punkten die Zahlen 0, 1, 2 und 3 in verschiedenen Anordnungen angegeben sind. Das Puzzle hat 18 Teile, alle Anordnungen gibt es dreimal. Das Ziel des Puzzles ist willkürlich 9 Quadrate der Versammlung zu entnehmen und diese Teilversammlung in ein 3 x 3 Quadrat zu legen, so dass in jeder entstandenen Zeile, Spalte und Diagonale die Summe von 9 (Punkten) ergibt.
Die Konstruktion eines magischen Quadrates der Ordnung 6 mit Hilfe des Medjig-Puzzles geht wie folgt: Mache eine 3 x 3 Medjig-Lösung, dazu kann man diesmal unbeschränkt aus der Totalversammlung wählen. Dann nimmt das bekannte klassische magische Quadrat der Ordnung 3, und verteile alle Felder davon in vier Quadranten. Als nächstes, man fülle die Quadranten mit der ursprünglichen Zahl und den drei abgeleiteten modulo-9 Zahlen bis 36, der Medjig-Lösung folgend. Das ursprüngliche Feld mit der Zahl 8 wird also verteilt in vier Feldern mit den Zahlen 8 (= 8 + 0 x 9), 17 (= 8 + 1 x 9), 26 (= 8 + 2 x 9) und 35 (= 8 + 3 x 9), das Feld mit der Zahl 3 wird 3, 12, 21 und 30, usw.. Siehe untenstehendes Beispiel.
| 8 | 3 | 4 |
| 1 | 5 | 9 |
| 6 | 7 | 2 |
+
| 2 | 3 | 0 | 2 | 0 | 2 |
| 1 | 0 | 3 | 1 | 3 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 2 | 2 | 0 |
| 0 | 2 | 0 | 3 | 3 | 1 |
| 3 | 2 | 2 | 0 | 0 | 2 |
| 0 | 1 | 3 | 1 | 1 | 3 |
=
| 26 | 35 | 3 | 21 | 4 | 22 |
| 17 | 8 | 30 | 12 | 31 | 13 |
| 28 | 10 | 14 | 23 | 27 | 9 |
| 1 | 19 | 5 | 32 | 36 | 18 |
| 33 | 24 | 25 | 7 | 2 | 20 |
| 6 | 15 | 34 | 16 | 11 | 29 |
Auf gleiche Weise kann man magische Quadrate der Ordnung 8 erzeugen. Man erzeuge dazu erst eine 4 x 4 Medjig-Lösung ( Summe der Punkte jeder Reihe, Spalte, Diagonale 12), und vergrössere danach z. B. das oben abgebildete 4 x 4 Dürer magische Quadrat modulo-16 bis 64. Im allgemeinen braucht man für die Konstruktion magischer Quadrate der Ordnung ≥10 auf diese Weise mehrere Sätze Medjig-Teile. Für die Ordnung 12 kann man eine 3 x 3 Medjig-Lösung horizontal und vertikal verdoppeln, und danach das oben konstruierte 6 x 6 magische Quadrat modulo-36 ausbreiten nach 144. Ähnlich geht es mit Ordnung 16.
Für ein n×n-magisches Quadrat (n>2) ist die Summe einer Zeile, Spalte oder Diagonale immer gleich der mittleren Summe aus einem vorhandenen Zahlenvorrat a:
Summe:
Beispiele:
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Quadrat Summe 3×3 
4×4 
7×7 
4711×4711 
[Bearbeiten] Buchstabenquadrate
Ein magisches Buchstabenquadrat ist eine Denksportaufgabe, wobei in den Zeilen und Spalten des Quadrats jeweils gleiche Wörter entstehen. Ein Beispiel hierfür ist das Sator-Quadrat:
-
S A T O R A R E P O T E N E T O P E R A R O T A S
[Bearbeiten] Siehe auch
Magischer Würfel, Magisches Klangquadrat, Palindrom, Sudoku, Vollkommen perfektes magisches Quadrat, Conways LUX-Methode zur Erzeugung Magischer Quadrate
[Bearbeiten] Weblinks
- Ausführliche Artikel über magische Quadrate
- Seite des Künstlers Paul Heimbach, Köln
- Dürers magisches Quadrat und seine Bedeutung in Thomas Manns Doctor Faustus
- Magische Quadrate mit Buchstaben verschiedener Alphabete
