Cauchyrij

Van Wikipedia

Een Cauchyrij is in de wiskunde een rij waarvoor geldt dat hoe verder in de rij men komt, hoe dichter de termen van de rij in elkaars buurt komen te liggen. Intuïtief lijkt dit te betekenen dat de rij convergeert naar een limietwaarde. Dit is echter niet bij iedere Cauchy-rij het geval. Cauchy-rijen zijn echter wel de 'kandidaten' voor convergentie.

Inhoud

1 Definitie
2 Voorbeeld
3 Cauchyrij in een topologische vectorruimte
4 Convergente rijen
5 Gelijkwaardigheid van de definities

[bewerk] Definitie

De precieze definitie is:

Een Cauchyrij in een metrische ruimte $V$ met afstandsfunctie d is een rij $\{x_n\}_{n=1}^{\infty} = (x_1,x_2,x_3,\ldots)$ in V die voldoet aan het volgende:

Voor elk (strikt) positief reëel getal

ε

bestaat er een natuurlijk getal N zodat voor alle natuurlijke getallen n en m die groter dan N zijn, geldt dat

d (x n, x m) < ε

Met kwantoren kan de definitie van een Cauchyrij opgeschreven worden als:

$\forall\,\epsilon>0\;\exists\,N\in\mathbb{N}\; \forall\,n,m\ge N:d(x_m,x_n)<\epsilon$ .

Deze definitie zegt in woorden dat hoe klein je $ε$ ook kiest, vanaf een bepaald punt in de rij de afstand tussen twee willekeurige elementen altijd kleiner is dan $ε$ . Overigens is het voor een rij om een Cauchyrij te zijn niet voldoende dat alleen de afstand tussen twee opeenvolgende punten naar nul gaat.

Het begrip Cauchyrij speelt een rol in de definitie van een volledige metrische ruimte. Een metrische ruimte V wordt volledig genoemd als elke Cauchyrij die binnen die verzameling definieerbaar is, convergeert (naar een limietwaarde die dus ook binnen die verzameling moet liggen). Het bekendste voorbeeld hiervan zijn de reële getallen; de verzameling $\mathbb{R}$ van de reële getallen is gedefinieerd als de kleinste volledige metrische ruimte die de verzameling $\mathbb{Q}$ van de rationale getallen bevat. In $\mathbb{R}$ is elke Cauchyrij dus convergent.

[bewerk] Voorbeeld

Het is mogelijk om een rij $x n$ te definiëren als volgt:

$x_n = max\{x| x \in \mathbb{Q}; 10^{n}x \in \N; x^{2} \leq 2\}$

Uit de definitie volgt dat

x 0 = 1

x 1 = 1.4

x 2 = 1.41

x 3 = 1.414

x 4 = 1.4142

x 5 = 1.41421

x 6 = 1.414213

etc.

De rij $x n$ is een Cauchyrij met elementen in $\mathbb{Q}$ . In $\R$ convergeert $x n$ naar $\sqrt{2}$ , echter in $\mathbb{Q}$ is $x n$ niet convergent ( $\sqrt{2}$ is geen element van $\mathbb{Q}$ , zoals hier is bewezen). We zien dus dat niet iedere Cauchyrij in $\mathbb{Q}$ convergent is.

De Cauchyrij is vernoemd naar de Franse wiskundige Augustin Louis Cauchy (1789-1857).

[bewerk] Cauchyrij in een topologische vectorruimte

Een topologische vectorruimte is een reële of complexe vectorruimte, uitgerust met een topologie die de Hausdorff-eigenschap bezit en die de klassieke vectorbewerkingen continu maakt.

Een dergelijke topologie is niet altijd afkomstig van een metriek, maar toch kan het begrip Cauchyrij veralgemeend worden. Elke topologische vectorruimte heeft een aftelbare lokale basis in ieder punt. Zij

$\mathcal{B}=\{B_1,B_2,\ldots,B_i,\ldots\}$

een dergelijke lokale basis voor de nulvector. Een rij vectoren

$x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$

heet Cauchyrij als er voor elke i een natuurlijk getal N bestaat zodat voor alle natuurlijke getallen n en m die groter dan N zijn, geldt dat

$x_n-x_m\in B_i$ .

Het is niet moeilijk aan te tonen dat deze definitie onafhankelijk is van de gekozen aftelbare basis.

[bewerk] Convergente rijen

Over $\mathbb{R}$ geldt dat een convergente rij een Cauchyrij is en omgekeerd. Bij het bewijs hiervan wordt gebruik gemaakt van de driehoeksongelijkheid.

[bewerk] Gelijkwaardigheid van de definities

Een metriek op een topologische vectorruimte heet translatie-invariant als de afstanden tussen vectoren niet wijzigen onder invloed van een willekeurige verschuiving:

$\forall x,y,z\in V:d(x,y)=d(x+z,y+z).$

Als de topologie van $V$ afkomstig is van een translatie-invariante metriek, dan valt de "topologische" definitie van een Cauchyrij samen met de "metrische" definitie. In het bijzonder geldt dat alle verschillende translatie-invariante metrieken die dezelfde topologische vectorruimte voortbrengen, dezelfde Cauchyrijen hebben.

Categorie: Analyse

Cauchyrij

Van Wikipedia

Inhoud

[bewerk] Definitie

[bewerk] Voorbeeld

[bewerk] Cauchyrij in een topologische vectorruimte

[bewerk] Convergente rijen

[bewerk] Gelijkwaardigheid van de definities

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen