Całka Daniella-Stone'a

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Bibliografia
4 Zobacz też
5 Przypisy

Całka Daniella-Stone'a - model konstrukcji całki zaproponowany w 1918 przez Daniella i Stone'a jako uogólnienie teorii całki Riemanna. Obecnie większą popularnością wśród matematyków cieszy się model zaproponowany przez Lebesgue'a. Względną zaletą modelu Daniella-Stone jest brak bezpośredniego odwołania do aparatu teorii miary.

[edytuj] Definicja

Funkcjonał liniowy, nieujemny^[1], monotonicznie ciągły na pewnej elementarnej rodzinie funkcji $E$ nazywamy całką Daniella-Stone'a. Funkcje z rodziny $E$ nazywamy funkcjami elementarnymi tej całki.

Zamiast $μ(f)$ całkę Daniella-Stone'a oznaczamy także

$\int fd\mu,\qquad \int\limits_Xf(x)d\mu(x),\qquad \operatorname{(D)}\int fd\mu$

[edytuj] Przykłady

$X=[a,b]\subset\mathbb{R}, E=C([a,b]), \mu(f):=\int\limits_{[a,b]}f(x)dx$ . W tym przypadku całka Daniella-Stone'a jest całką Riemanna.
Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą oraz niech $E = C 0 (X)$ - zbiór funkcji ciągłych o zwartych nośnikach na $X$ . Jeśli $μ$ jest funkcjonałem liniowym i nieujemnym, to na mocy twierdzenia Diniego $μ$ jest monotonicznie ciągły, czyli będzie całką Daniella-Stone'a. Całkę tę nazywamy całką Radona na przestrzeni lokalnie zwartej $X$ .
W poprzednim przykładzie przyjmijmy $X=\mathbb{N}$ . Niech $C_0(\mathbb{N})$ będzie przestrzenią ciągów o skończonej liczbie wyrazów niezerowych. Dla $f\in C_0(\mathbb{N})$ przyjmijmy $\mu(f):=\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ .
Niech $X\neq \varnothing$ . Rozważmy zbiór $E$ wszystkich funkcji $X\to \mathbb{R}$ oraz ustalmy $x_0\in X$ . Dla $f\in E$ określamy $μ(f): = f (x 0)$ ^[2]

[edytuj] Bibliografia

Maurin, Krzysztof. Analiza - Część I - Elementy. Warszawa : PWN, 1976.
Daniell, Percy John. A general form of integral. Annals of Mathematics 19, 1918.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Przypisy

↑ Funkcjonał $\mu\colon X\to \mathbb{R}$ nazywamy nieujemnym jeśli $\mu(f)\geq 0$ dla każdej $f\in X$ .
↑ Funkcjonał ten oznaczamy najczęściej przez $\delta_{x_0}(f)$