Domknięcie

Zasugerowano, aby ten artykuł zintegrować z artykułem Domknięcie (matematyka).

Domknięcie zbioru $A$ w przestrzeni topologicznej $X$ to najmniejszy zbiór domknięty $\overline{A}$ zawierający $A$ .

Najmniejszy oznacza tutaj: $\overline{A}$ zawiera $A$ i jeśli inny zbiór domknięty $B$ również zawiera $A$ , to $\overline{A}\subset B$ .

Często zamiast $\overline{A}$ pisze się również $cl(A)$ (angielskie closure oznacza domknięcie).

Operacja domknięcia służyła za podstawę definicji przestrzeni topologicznej Kuratowskiego.

W przestrzeni metrycznej często korzysta się z następującego warunku: $\overline{A}=\{x\in X: d(x, A)=0\}$ – jest to zbiór wszystkich punktów przestrzeni $X$ , których odległość od zbioru $A$ , rozumiana jako kres dolny zbioru $\{d(x,a):a\in A\}$ jest równa 0.
Jeszcze inne określenie domknięcia dla przestrzeni metrycznych (i ogólniej, przestrzeni spełniających pierwszy aksjomat przeliczalności): punkt $x$ należy do domknięcia zbioru $A$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest granicą ciągu o wyrazach ze zbioru $A$ .
Poprzedni warunek można wysłowić następująco: w przestrzeni metrycznej domknięcie zbioru jest zbiorem wszystkich granic ciągów należących do danego zbioru. Okazuje się, że warunek ten pozostaje prawdziwy w dowolnej przestrzeni topologicznej, jeśli pojęcie ciągu zastąpić pojęciem ciągu uogólnionego.

Domknięciem przedziału otwartego (0, 1) w zbiorze liczb rzeczywistych R jest przedział domknięty [0, 1].
Domknięciem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych R jest R.
W topologii trywialnej (jedynymi zbiorami otwartymi są $\varnothing$ i $X$ ) domknięciem dowolnego zbioru niepustego jest cała przestrzeń.

Zbiór $A$ jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy $A=\overline{A}$
$\overline{\varnothing}=\varnothing$ oraz $\overline{X}=X$
$\overline{\overline{A}}=\overline{A}$
$A\subset B\Rightarrow\overline{A}\subset\overline{B}$
$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ i podobnie dla skończonej liczby zbiorów
$\overline{A\cap B}\subset\overline{A}\cap\overline{B}$ i ogólniej
dla dowolnej rodziny zbiorów $(A_i)_{i\in I}$ $\overline{\bigcap_{i\in I}A_i}\subset\bigcap_{i\in I}\overline{A_i}$