Sprzężenie hermitowskie

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Sprzężenie hermitowskie – w ujęciu analizy funkcjonalnej konstrukcja matematyczna w teorii przestrzeni Hilberta w wyniku której otrzymuje się operator dualny (sprzężony) do danego.

Spis treści

1 Definicja ogólna
2 Sprzężenie hermitowskie macierzy
- 2.1 Przykład
3 Operatory samosprzężone
- 3.1 Własności
- 3.2 Zastosowania
4 *-algebry
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja ogólna

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym $\langle x,y \rangle$ , zaś $T$ operatorem liniowym ograniczonym na $H$ . Z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału wynika, że dla każdego $y\in H$ istnieje dokładnie jeden element $z \in H$ taki, że równość

$\langle Tx,y \rangle = \langle x,z \rangle$

zachodzi dla wszystkich $x\in H.$

Ponadto odwzorowanie $y \mapsto z$ jest operatorem liniowym ograniczonym na $H$ . Operator ten nazywamy operatorem sprzężonym (dualnym) do $T$ i oznaczamy symbolem $T^\star$ . Innymi słowy, istnieje dokładnie jeden operator $T^\star: H \to H,$ dla którego zachodzi

$\forall_{x,y \in H}\;\langle Tx,y \rangle = \langle x,T^\star y \rangle$ .

Powyższą konstrukcję nazywa się operacją sprzężenia hermitowskiego. W żargonie jednak sprzężeniem hermitowskim nazywa się też sam operator $T^\star$ (wynik konstrukcji). Tak więc operator $T^\star$ jest antyautomorfizmem algebry operatorów liniowych w przestrzeni Hilberta.

Istnieją dwie główne konwencje oznaczeń operatora sprzężonego. Matematycy używają symbolu gwiazdki $T^\star$ , natomiast fizycy zwykle używają krzyżyka, tzn. $T^\dagger$ .

[edytuj] Sprzężenie hermitowskie macierzy

Sprzężenie hermitowskie macierzy – dla macierzy zespolonych jest to złożenie operacji transpozycji i trywialnego sprzężenia zespolonego.

Sprzężeniem hermitowskim macierzy formalnie nazywamy więc odwzorowanie

$\cdot^\star: M_n(\mathbb C) \to M_n(\mathbb C)$

takie, że dla $A \in M_{n}(\mathbb C)$ zachodzi

$A=(a_{ij}) \mapsto A^\star = (\overline {a_{ji}})$ ,

czyli

$A^\star = \overline A^T = \overline {A^T}$ .

[edytuj] Przykład

$A=\begin{bmatrix} 2+3i & 1-2i & -1+2i \\ 0 & -2 & 3+2i \\ -i & 2-i & 2+i \end{bmatrix} \mapsto A^\star = \begin{bmatrix} 2-3i & 0 & i \\ 1+2i & -2 & 2+i \\ -1-2i & 3-2i & 2-i \end{bmatrix}$

[edytuj] Operatory samosprzężone

Operator hermitowski, samosprzężony – operator liniowy określony na skończeniewymiarowej przestrzeni Hilberta równy swemu operatorowi sprzężonemu, tzn. taki, że

$T=T^\star$

W szczególnym przypadku macierzy, macierz hermitowska (samosprzężona) $A$ to taka, która jest równa transpozycji swojego sprzężenia:

$A = A^\star = {\overline A^T}$ , czyli $a_{ij} = \overline {a_{ji}}$ .

[edytuj] Własności

Operatory (macierze) hermitowskie mają rzeczywiste wartości własne:

Załóżmy, że

λ

jest wartością własną operatora

T

, czyli

$\exists_{x \ne 0}\; Tx=\lambda x$ .

Mamy wówczas

$\lambda \langle x,x \rangle= \langle \lambda x,x \rangle = \langle Tx,x \rangle = \langle x,Tx\rangle = \langle x, \lambda x \rangle = {\overline \lambda} \langle x, x \rangle$ .

Stąd też $\lambda = \overline \lambda$ .

[edytuj] Zastosowania

W mechanice kwantowej operatory hermitowskie są używane do reprezentacji wielkości fizycznych i nazywane obserwablami ("wielkościami, które można obserwować"). Na przykład pęd i energia w mechanice kwantowej przestają być odpowiednio wektorem i skalarem jak w teorii klasycznej, a stają się bardziej abstrakcyjnymi operatorami w pewnej przestrzeni Hilberta.

[edytuj] *-algebry

Element $x$ należący do *-algebry jest samosprzężony, gdy $x * = x$ .

Zbiór $C$ elementów *-algebry jest samosprzężony, jeśli jest zamknięty ze względu na operację inwolucji. Przykładowo, jeśli $x * = y$ wtedy ponieważ $y^*={x^*}^*=x$ należy do *-algebry, to zbiór ${x, y}$ jest samosprzężony nawet, gdy elementy $x, y$ nie są samosprzężone.