Macierz

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy
macierz jednostkowa
macierz zerowa
macierz elementarna
macierz schodkowa
macierz trójkątna
macierz symetryczna
macierz diagonalna
macierz idempotentna
macierz nilpotentna
macierz hermitowska
macierz unitarna
macierz ortogonalna
(!) macierz dopełnień algebraicznych
(!) macierz dołączona
więcej...

Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
potęgowanie macierzy
odwracanie macierzy
diagonalizacja macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne

Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

[edytuj] Intuicja

Macierz to uporządkowana prostokątna dwuwymiarowa tablica wielkości z pewnego zbioru wartości (najczęściej utworzona z liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Przykładowa macierz

$A=\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4\\ -1 & 5 & 0 & 1\\ 2 & 2 & 9 & 1 \end{bmatrix}$

ma trzy wiersze i cztery kolumny.

Wybrane elementy: $a 21 = - 1$ , $a 13 = 1$ oraz $a 33 = 9$ .

Łatwo zauważyć, że położenie każdego elementu określa się poprzez podanie numeru wiersza i kolumny, na przecięciu których się znajduje (zawsze w tej kolejności: najpierw wiersz, a potem kolumna). Zatem element stojący w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie oznaczamy $a 12$ (w powyższej macierzy jest on równy $3$ ).

[edytuj] Definicja formalna

Macierzą $A$ wymiaru (stopnia) $m \times n$ o elementach z ustalonej struktury algebraicznej $K$ (pierścień, ciało) z określonymi działaniami dodawania i mnożenia nazywamy funkcję dwuargumentową, przyporządkowującą danej parze argumentów $(i, j)$ takiej, że $1 \le i \le m,\; 1 \le j \le n$ wielkość ze struktury $K$ :

$A_{m \times n}: \{1, \dots, m\} \times \{1, \dots, n\} \to K$ .

[edytuj] Oznaczenia, podstawowe pojęcia

Macierz o $m$ wierszach i $n$ kolumnach nazywamy macierzą wymiaru lub stopnia $m \times n$ (macierz z powyższego przykładu jest wymiaru $3 \times 4$ ).

Wartości macierzy $A_{m \times n}$ z ustalonych ( $i$ -tego) wiersza i ( $j$ -tej) kolumny oznaczamy przez $a i j$ i nazywamy elementami, wyrazami lub współczynnikami macierzy. Czasami można się spotkać z oznaczeniem $A [i, j]$ pochodzącym z zastosowań informatycznych.

Macierz można zadać poprzez podanie jej wszystkich wyrazów, ale można również wskazać jawny wzór na jej wyrazy. Jest to wygodne wtedy, gdy wyrazy macierzy są funkcją wiersza i kolumny w której stoją. Stąd też oznaczenie $A = (a i j)$ pomagające w zapisie wspomnianej zależności. Spotyka się również oznaczenie $A=(a_{ij})_{m \times n}=(a_{ij})_{1 \le i \le m,\; 1\le j \le n}$ , które wskazuje na zakres zmiennych zależnych $i$ i $j$ , gdzie para uporządkowana $(m, n)$ jest wymiarem macierzy.

[edytuj] Macierz kwadratowa i powiązane pojęcia

Macierzą kwadratową stopnia $n$ nazywamy macierz, która ma tyle samo wierszy co kolumn (czyli jest to macierz wymiaru $n \times n$ ).

Przekątna (diagonala) główna macierzy kwadratowej to ciąg współczynników, których oba indeksy są sobie równe. Dla macierzy $A_{n \times n}=(a_{ij})$ będzie to ciąg $(a_{11},a_{22}, a_{33}, \cdots, a_{nn})$ .

Macierz nieosobliwa albo odwracalna to taka macierz kwadratowa, której wyznacznik jest różny od zera ( $\det A \neq 0$ ).

Macierz kwadratową o wyznaczniku równym zeru ( $det A = 0$ ) określamy jako osobliwą lub nieodwracalną.

Szczególnym przypadkiem macierzy kwadratowej jest macierz jednostkowa, macierz diagonalna oraz macierz trójkątna.

[edytuj] Działania na macierzach

[edytuj] Dodawanie macierzy

Zobacz więcej w osobnym artykule: Dodawanie macierzy.

Suma macierzy jest wykonalna dla macierzy o równych wymiarach. Wyniki dodawania odpowiadających sobie elementów macierzy składowych tworzą macierz wynikową (zostało to zilustrowane poniżej):

$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}$ .

Macierz wynikowa ma takie same wymiary co macierze składowe. Warto pamiętać, że suma macierzy o różnych wymiarach nie istnieje.

[edytuj] Przykład dodawania

Dodawanie dwóch macierzy stopnia $2 \times 3$ o wyrazach rzeczywistych:

$\begin{bmatrix} 1,3 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 9 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 1,2 & 2 & 11 \\ 3 & -4 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2,5 & 4 & 14 \\ 4 & -2 & 16 \end{bmatrix}$ .

[edytuj] Mnożenie macierzy przez skalar

Mnożenie macierzy przez skalar $r$ polega na wymnożeniu każdego elementu macierzy przez ten skalar. (Badziej formalnie, iloczynem macierzy $A = (a i j)$ przez skalar $r \in K$ , czyli element z ciała $K$ , do którego należą również współczynniki macierzy, nazywamy macierz $r A = r (a i j) = (r a i j)$ dla $i = 1,2, \dots, m$ , $j = 1, 2, \dots, n$ .) Można to przedstawić następująco:

$r \cdot \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ra_{11} & ra_{12} & \cdots & ra_{1n} \\ ra_{21} & ra_{22} & \cdots & ra_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ra_{m1} & ra_{m2} & \cdots & ra_{mn} \end{bmatrix}$ .

[edytuj] Przykład mnożenia przez skalar

Mnożenie macierzy o współczynnikach rzeczywistych przez liczbę rzeczywistą:

$3 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\ -1 & -4 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 0\\ 3 \cdot (-1) & 3 \cdot (-4) & 3 \cdot 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 & 0 \\ -3 & -12 & 27 \end{bmatrix}$ .

[edytuj] Mnożenie macierzy

Zobacz więcej w osobnym artykule: Mnożenie macierzy.

Dwie macierze możemy przez siebie pomnożyć tylko wówczas, gdy liczba kolumn macierzy, którą mnożymy (z lewej strony), jest równa liczbie wierszy macierzy, przez którą mnożymy (z prawej strony). Innymi słowy, "kolejność" macierzy przy mnożeniu jest istotna, gdyż działanie to najczęściej nie jest przemienne (niezależnie od jego wykonalności).

Operację mnożenia macierzy wykonuje się w następujący sposób: mając dane macierze $A_{m \times n}$ oraz $B_{n \times p}$ definiujemy iloczyn zadanych macierzy jako macierz $(A \cdot B)_{m \times p}$ , czyli macierz o liczbie wierszy pierwszego czynnika (macierz $A$ ) oraz liczbie kolumn drugiego czynnika (macierz $B$ ), której współczynniki wyznacza się według wzoru:

$(ab)_{ij} = a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2j} + \dots + a_{in} \cdot b_{nj}$ ,

gdzie:

$i = 1, 2, \dots, m$ ,

$j = 1, 2, \dots, p$ ,

n

- liczba kolumn pierwszej macierzy (albo, równoważnie, liczba wierszy drugiej macierzy).

[edytuj] Przykłady mnożenia macierzy

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\ (-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & (-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)) & (3 \cdot 0 + 1 \cdot 3) & (3 \cdot 2 + 1 \cdot 1)\\ (2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)) & (2 \cdot 0 + 1 \cdot 3) & (2 \cdot 2 + 1 \cdot 1)\\ (1 \cdot 1 + 0 \cdot (-1)) & (1 \cdot 0 + 0 \cdot 3) & (1 \cdot 2 + 0 \cdot 1)\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Należy pamiętać, że działanie mnożenia macierzy na ogół nie jest przemienne, nawet jeśli jest wykonalne w obu przypadkach - ilustruje to powyższy przykład. Z uwagi na ten fakt warto wprowadzić pojęcia: przemnażania jako mnożenia z lewej strony, oraz pomnażania jako mnożenia z prawej strony.

[edytuj] Inne operacje na macierzach

[edytuj] Przestrzeń macierzy

Zbiór $M_{m \times n}$ macierzy ustalonego wymiaru $m \times n$ o wyrazach z ciała $K$ ze zwykłym działaniem dodawania macierzy po współrzędnych tworzy grupę abelową. Jeżeli określić dodatkowo mnożenie macierzy $A = (a i j)$ przez skalar $c \in K$ wzorem

$c \cdot A = (c \cdot a_{ij})$ ,

to grupa ta staje się przestrzenią liniową nad ciałem $K$ . Wymiar tej przestrzeni jest równy $m \cdot n$ . Elementem zerowym jest macierz zerowa.

Jeżeli rozważymy przestrzeń macierzy kwadratowych stopnia $n \times n$ , możemy mówić o pierścieniu $M_n=M_{n \times n}$ z elementem neutralnym (jedynką) w postaci macierzy jednostkowej.

Zatem możemy wprowadzić dodatkowe oznaczenie macierzy $A$ ustalonego stopnia $m \times n$ , mianowicie $A_{m \times n} = A \in M_{m \times n}$ . Aby zaznaczyć ciało nad którym zbudowana jest przestrzeń macierzy można użyć oznaczenia $M_{m \times n}(K)$ , gdzie $K$ jest dowolnym ciałem.

[edytuj] Relacje w przestrzeni macierzy

[edytuj] Porządek

W zbiorze macierzy można zadać różnorakie porządki, jednak żaden z nich nie zyskał większej popularności ani nie doczekał się ciekawszego zastosowania. W przestrzeni macierzy możemy ustalić porządek względem jego wymiaru (np. porządek leksykograficzny), czy też nawet liniowy w przestrzeni macierzy kwadratowych.

Jak w ciele liczb zespolonych, tak również w zbiorze macierzy ustalonego stopnia nie wyłoniono żadnego porządku godnego uwagi, choć jest to teoretycznie możliwe (ponownie np. porządek leksykograficzny względem kolumn i wierszy macierzy, biorąc pod uwagę porządek z ciała – który notabene może nie istnieć, np. dla ciała liczb zespolonych!)

[edytuj] Równoważność

W przestrzeni macierzy $M_{m \times n}(K)$ można zadać kilka relacji równoważności. Oto ciekawsze z nich:

[edytuj] Równość

Dwie macierze $A = a i j$ i $B = b i j$ nazywamy równymi i piszemy $A = B$ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są oba następujące warunki:

mają ten sam wymiar: $A, B \in M_{m \times n}$ oraz
mają równe (relacja równoważności z ciała) odpowiednie współczynniki: $\forall_{i \in \mathbb N_1^m,\;j \in \mathbb N_1^n}\quad a_{ij} = b_{ij}$ .

[edytuj] Równoważność względem operacji liniowych na wierszach/kolumnach

Zobacz więcej w osobnym artykule: Metoda Gaussa.

Dwie macierze $A = a i j$ i $B = b i j$ nazywamy równoważnymi względem operacji elementarnych na wierszach/kolumnach, co oznaczamy poprzez $A \simeq B$ lub $A \cong B$ , wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są oba następujące warunki:

mają ten sam wymiar: $A, B \in M_{m \times n}$ oraz
istnieje operacja elementarna na wierszach/kolumnach (albo ich skończona lista), za pomocą której można przejść od macierzy $A$ do $B$ .

[edytuj] Zastosowania macierzy

Macierze mają liczne zastosowania w wielu dziedzinach matematyki, badaniem ich właściwości zajmuje się przede wszystkim algebra liniowa. Pierwotnie macierze służyły łatwemu zapisowi równań liniowych i znajdowaniu rozwiązań układów równań liniowych za pomocą metody Gaussa lub wzorów Cramera.

Przestrzeń macierzy z działaniem mnożenia macierzy jest izomorficzna z przestrzenią przekształceń liniowych z działaniem składania przekształceń, zatem macierze są naturalnym sposobem zapisu odwzorowań liniowych. Tak więc znajdują swoje zastosowanie w algebrze abstrakcyjnej, topologii i innych dziedzinach matematyki. W analizie matematycznej przekształceniem liniowym jest różniczka, z kolei w algebrze liniowej jest nią wyznacznik macierzy (wyznacznik przekształcenia).

Dodatkowo elementarnym przekształceniom liniowym w skład których wchodzą obroty, translacje i skalowania (jednokładności) odpowiadają odpowiednie macierze elementarne, dlatego też macierze znalazły swoje zastosowanie również w grafice komputerowej, a szczególnie w jej działach: grafice wektorowej i trójwymiarowej.

W fizyce macierze służą przede wszystkim do opisu obiekty geometryczne przestrzeni liniowych, np. tensorów.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

Jerzy Topp, Algebra liniowa, Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk 2005, ISBN 83-7348-135-4

Źródło: "http://pl.wikipedia.org../../../m/a/c/Macierz.html"

Kategoria: Macierze