Twierdzenie Jegorowa
Z Wikipedii
Twierdzenie Jegorowa. Jedno z ważniejszych twierdzeń teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Nazwane imieniem rosyjskiego matematyka, Dimitri Jegorowa.
[edytuj] Twierdzenie
Jeśli 
oraz 
prawie wszędzie, to ciąg 
jest zbieżny do funkcji 
prawie jednostajnie.
[edytuj] Dowód
Określmy zbiory:
Istotnie, wystarczy wykazać, że ciąg ten nie jest zbieżny według miary.
Hipoteza: Ciąg, zdefiniowany jak wyżej, jest zbieżny według miary do pewnej funkcji 
. Jedynym zbiorem o mierze mniejszej od 1 jest zbiór pusty.
Wniosek: Ciąg ten zmierza do tej funkcji jednostajnie. Skąd:
[f(x) = 1]
Wówczas:
![\big[|\chi_{\{1,\ldots,n\}}(x)-1|<1\big]](../../../math/e/f/e/efe3667ff219e4c65ec203320a5c0a9f.png)
, gdzie χ to funkcja charakterystyczna zbioru. Czyli:
-
![\big[\chi_{\{1,\ldots,n\}}(x)=1\big]](../../../math/9/e/8/9e85b84615b8f5abff7964cd898a41e6.png)
Co prowadzi do sprzeczności.
