Diament Jensena

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

W teorii mnogości, diament Jensena (oznaczany przez $\diamondsuit$ ) to zdanie postulujące istnienie ciągu zbiorów przeliczalnych który często zgaduje każdy podzbiór pierwszej nieprzeliczalnej liczby porządkowej $ω 1$ . Zdanie to jest niezależne od standardowych aksjomatów ZFC, tzn zdania tego nie można udowodnić na gruncie tych aksjomatów ani nie można go obalić. Ponieważ ma ono wiele ciekawych konsekwencji, jest ono traktowane przez matematyków jako dodatkowy aksjomat, który może być zakładany jeśli tego wymaga dowód.

Zasada kombinatoryczna $\diamondsuit$ była wprowadzona przez amerykańskiego matematyka Ronalda Jensena. Jedną z motywacji do rozważania tego zdania było, że jest ono prawdziwe w uniwersum konstruowalnym L oraz wiele studiowanych wcześniej własności L okazały się być konsekwencjami $\diamondsuit$ .

Jensen udowodnił też, że jeśli ZFC jest niesprzeczne, to niesprzeczna jest również teoria ZFC+GCH+ $\neg\diamondsuit$ ^[1].

[edytuj] Diament i wzmocnienie

Diament Jensena $\diamondsuit$ to następujące zdanie:

Istnieje ciąg $\langle A_\alpha:\alpha<\omega_1\rangle$ taki, że

$A_\alpha\subseteq \alpha$ dla każdej liczby porządkowej $α < ω 1$ , oraz

dla każdego zbioru $A\subseteq \omega_1$ , zbiór $\{\alpha<\omega_1:A_\alpha=A\cap \alpha\}$ jest stacjonarny.

$\diamondsuit^+$ to następujące zdanie:

Istnieje ciąg $\langle {\mathcal A}_\alpha:\alpha<\omega_1\rangle$ taki, że

dla każdej liczby porządkowej $α < ω 1$ , ${\mathcal A}_\alpha$ jest przeliczalną rodziną podzbiorów $α$ , oraz

dla każdego zbioru $A\subseteq \omega_1$ istnieje club $C\subseteq \omega_1$ taki, że

$(\forall\alpha\in C)(A\cap\alpha\in {\mathcal A}_\alpha\ \wedge\ C\cap\alpha\in {\mathcal A}_\alpha).$

[edytuj] Konsekwencje i własności

Następujące twierdzenia są dowodliwe w ZFC:

$\diamondsuit\ \Rightarrow\ {\mathbf{CH}}$ .
Jeśli $\diamondsuit$ jest prawdziwy, to istnieje ω₁-drzewo Suslina. Zatem, przy założeniu $\diamondsuit$ ,

(a) istnieje porządek liniowy bez końców w którym każda rodzina rozłącznych przedziałów otwartych jest przeliczalna ale który nie zawiera żadnego przeliczalnego podzbioru gęstego;

(b) istnieje przestrzeń topologiczna X która spełnia ccc (tzn każda rodzina parami rozłącznych otwartych podzbiorów X jest co najwyżej przeliczalna), ale której produkt $X\times X$ nie spełnia ccc.

$\diamondsuit^+\ \Rightarrow \diamondsuit$ .
${\mathbf{V}}={\mathbf{L}}\ \Rightarrow \diamondsuit^+$ .
Jeśli $\diamondsuit^+$ jest prawdziwy, to istnieje ω₁-drzewo Kurepy (z $2^{\omega_1}$ gałęziami długości $ω 1$ ).

[edytuj] Bibliografia

↑ Devlin, Keith J.; Johnsbråten, Håvard. The Souslin problem. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 405. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1974. viii+132 pp.