Infinito

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Nota: Se procura o canal de televisão Infinito, consulte Infinito (canal de televisão).

Infinito, representado com o símbolo $\infty$ , é uma noção quase-numérica empregada em proposições matemáticas, filosóficas ou teológicas e que faz referência à falta de limite e falta de fronteira no tamanho, quantidade ou extensão.

Distingue-se entre infinito potencial e infinito real.

Índice

1 Infinito Potencial
2 Infinito Real
- 2.1 Infinito na Matemática
  - 2.1.1 Representação
  - 2.1.2 Infinito em relação aos números reais
- 2.2 Infinito no Universo

[editar] Infinito Potencial

Infinito Potencial é usado para processos que podem, em princípio, continuar para sempre, ou para objetos que podem, em princípio, crescer para sempre.

A sequência abaixo é potencialmente infinita: é possível extendê-la indefinidamente.

$\,\!P.a.(2;4;6;8;10;12;...)$

O conceito de infinito potencial é geralmente aceito e não apresenta controvérsias.

[editar] Infinito Real

Infinito Real (ou Infinito Completo) é um assunto mais complexo: será possível existir uma entidade completa e existente de tamanho infinito?

[editar] Infinito na Matemática

Em matemática, conjuntos infinitos foram primeiramente considerados por Georg Cantor, por volta de 1873. Cantor observou que conjuntos infinitos podem ter tamanhos diferentes, distinguindo entre conjuntos infinitos contáveis e incontáveis, e desenvolveu sua teoria de números cardinais baseado nesta observação. A matemática moderna aceita o infinito real. Por exemplo, as linhas e superfícies da geometria são interpretados pela matemática contemporânea como conjuntos infinitos de pontos.

Certos sistemas numéricos extendidos, tais como os números surreais, incorporam os números (finitos) ordinais e os números infinitos de diferentes tamanhos.

É necessário abandonar a intuição sobre objetos finitos ao lidar com conjuntos infinitos. Isso é provado pelo paradoxo do Grand Hotel de Hilbert.

[editar] Representação

O infinito é representado matematicamente pelo símbolo $\,\!\infty$ . Quando o símbolo é precedido por um sinal de mais ( $\,\!+\infty$ ), representa um número positivo infinito. Quando é precedido por um sinal de menos ( $\,\!-\infty$ ), representa um número infinito negativo.

Na teoria dos conjuntos, o infinito é representado pela letra hebraica aleph ( $\aleph$ ).

[editar] Infinito em relação aos números reais

Ocasionalmente considera-se ao infinito como um número especial, adicionando os símbolos $\infty$ e $-\infty$ ao conjunto dos números reais $\R$ formando assim o conjunto de números reais extendidos: $\tilde{\R}=\R \cup \{\infty, -\infty\}$ . Com esta construção o infinito manipula-se de jeito similar a um número, sujeito a certas regras:

Relação de ordem: $-\infty < x < \infty$ para qualquer número real x.
Operações aritméticas entre números reais e o infinito:

$x + \infty = \infty$

$x + (-\infty) = (-\infty)$

$x - \infty = -\infty$

$x - (-\infty) = \infty$

${x \over \infty} = 0$ , ${x \over -\infty} = 0$

$x > 0 \Longrightarrow x \cdot \infty = \infty \;\and\; x \cdot (-\infty) = (-\infty)$ .

$x < 0 \Longrightarrow x \cdot \infty = -\infty \;\and\; x \cdot (-\infty) = \infty$ .
Operações aritméticas entre infinitos:

$\infty + \infty = \infty,\qquad (-\infty)+(-\infty)=-\infty$

$\infty\cdot \infty = \infty,\qquad (-\infty)(-\infty)=\infty$

Há notar-se que muitas das operações possíveis com o infinito estão sem definir (isto quer dizer que não têm um valor atribuído), entre elas as seguintes:

$0 \cdot \infty \,$

$0 \cdot (-\infty) \,$

$\infty + (-\infty) \,$

$\infty - \infty \,$

${\pm\infty \over \pm\infty} \,$

${(\pm\infty)}^0 \,$

$1^{\pm\infty} \,$

[editar] Infinito no Universo

"Será que o infinito real existe no universo físico? Existem infinitas estrelas? O universo tem volume infinito? O espaço cresce para sempre?"

A questão de algo ser infinito é logicamente separada da de não ter fronteiras. Por exemplo, a superfície bidimensional da Terra é finita, embora não tenha fronteiras. Se algo se locomover em uma linha reta paralela ao solo, vai retornar ao ponto exato da partida. O universo, pelo menos a princípio, poderia operar de forma similar: se um corpo se locomover sempre na mesma direção e por tempo suficiente, talvez passe exatamente pelo ponto de onde saiu.

"O conceito matemático de infinito tem alguma relação com o conceito religioso de Deus?"

Esta questão foi feita tanto por Cantor, com o seu conceito de infinito absoluto, no qual ele iguala infinito e Deus, como também por Kurt Gödel com sua "prova ontológica" da existência de uma entidade, que Gödel relacionou com Deus.

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../i/n/f/Infinito.html"

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