Oändlighet
Wikipedia
Oändlighet är konceptet av obegränsning och obundenhet i storlek, antal eller utsträckning. Man skiljer mellan potentiell oändlighet och faktisk oändlighet.
Potentiell oändlighet används för att hänvisa till processer som i princip kan fortsätta för evigt, eller till objekt som i princip kan förstoras för alltid. Exempelvis sekvensen 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... är potentiellt oändlig: det är tydligt hur man förlänger den bortom alla gränser. Om en funktion i matematik växer bortom alla gränser när argumentet närmar sig ett visst värde, då säger man (egentligen felaktigt) att gränsvärdet är oändlighet (skrivs som ∞); detta är även ett exempel på potentiell oändlighet. Konceptet av potentiell oändlighet är allmänt accepterat och ställer inte till med några problem.
Å andra sidan var det föremål för mycket debatt huruvida en komplett och existerande enhet kan ha oändlig storlek, vilket man skulle beteckna som faktisk oändlighet. I matematiken dröjde det faktiskt ända till 1863 innan oändliga mängder systematiskt studerades. Georg Cantor som initierade studiet stötte på omfattande motstånd från omgivningen. Han fortsatte dock och insåg att oändliga mängder till och med kan ha olika storlekar, skiljde mellan uppräkneligt oändliga och ouppräkneliga mängder, och utvecklade sin teori om kardinaltal baserad på observationen. Hans uppfattning rönte så småningom framgång och modern matematik accepterar faktisk oändlighet. Vissa utökade talsystem, som till exempel surrealistiska tal, omfattar de vanliga (ändliga) talen och oändliga tal av olika storlekar.
Vår intuition baserad på finita mängder bryter samman i mötet med oändliga mängder. Ett exempel på detta är paradoxen Hilberts Hotel.
En spännande fråga är huruvida faktisk oändlighet finns i vårt universum: Finns det oändligt många stjärnor? Har universum oändlig volym? Utsträcker sig rymden i det oändliga? Detta är en viktig öppen fråga för kosmologin. Notera att frågan om att vara oändlig är logiskt skild från frågan om att vara begränsad. Den tvådimensionella jordytan är exempelvis ändlig, men har ändå ingen ände. Genom att färdas rakt långt nog, så återkommer man i princip till startpunkten. I princip kan universum vara sådant på motsvarande sätt; om man flyger med rymdskepp rakt fram tillräckligt länge, kanske man slutligen återkommer till startpunkten.
En annan fråga är om det matematiska konceptet för oändlighet har någon koppling till det religiösa konceptet gud. Denna fråga ställdes av både Cantor, med hans koncept om absolut oändlighet som han jämställde med gud, och Kurt Gödel med sitt "ontologiska bevis" om existensen av ett väsen som han satte i samband med gud.
Ändlighet
En mängd som inte är oändlig är ändlig. Mängden av de naturliga talen ( {1, 2, 3, ....}) är exempelvis oändlig, medan delmängden {1, 2, 3} är ändlig.
