Äärettömyys
Wikipedia
Ääretön on joukko, joka ei ole äärellinen. Esimerkkinä äärettömistä joukoista ovat luonnollisten lukujen muodostama joukko N ja reaalilukujen joukko. Ääretöntä merkitään symbolilla ∞.
Äärettömyys ei kuitenkaan ole yksiselitteistä, vaan äärettömätkin joukot voidaan jakaa numeroituviin ja ylinumeroituviin, ja niitä voi siten järjestää kokojärjestykseen. Esimerkiksi luonnolliset luvut muodostavat numeroituvasti äärettömän joukon ja reaaliluvut ylinumeroituvasti äärettömän. Toinen esimerkki numeroituvasti äärettömästä joukkosta saadaan Galilein paradoksista.
Jotta erikokoiset äärettömyydet voisi ymmärtää, täytyy ensin määritellä, mitä tarkoitetaan erikokoisuudella. Joukot ovat samankokoiset, jos niiden alkiot voidaan järjestää vastaamaan toisiaan. Esimerkiksi joukot {1,2,3} ja {2,5,3} ovat samankokoiset, koska niiden alkioiden välille voidaan määritellä vastaavuus: 1-->2, 2-->5 ja 3-->3.
Samoin äärettömät joukot ovat samankokoiset, jos niiden alkioiden välille voidaan määritellä vastaavuus. Esimerkiksi luonnollisia lukuja on yhtä paljon kuin parillisia lukuja: 1-->2, 2-->4, 3-->6 jne.
Reaalilukujen joukko on kuitenkin suurempi kuin luonnollisten lukujen joukko. Georg Kantor kehitti tähän seuraavan todistuksen:
Oletetaan, että on luettelo, jossa on jokainen reaaliluku, esimerkiksi:
0,12348877329...
3,23532423523...
2,52343223453...
ja niin edelleen.
Jos ensimmäisestä luvusta otetaan ensimmäinen numero ja muutetaan sitä yhdellä, toisesta luvusta toinen numero ja muutetaan sitä yhdellä ja niin edelleen, saadaan lopputulokseksi luku, joka alkaa:
1,33...
Tämä luku ei voi olla sama kuin mikään luettelossa oleva luku, sillä se eroaa niistä kaikista jostakin kohtaa. Ei siis voida tehdä luetteloa reaaliluvuista, joten joukko on ylinumeroituva. Tämän takia ei voida myöskään määritellä vastaavuuksia esimerkiksi luonnollisten lukujen kanssa.
[muokkaa] Katso myös
[muokkaa] Kirjallisuutta
- Rucker, Rudy (1998): Mieli ja äärettömyys: Äärettömyyden tiedettä ja filosofiaa. (Alkuteos: Infinity and the mind: The Science and Philosophy of the Infinite, 1982.) Suomentanut Markus Hotakainen. Helsinki: Art House. ISBN 951-884-222-1.
