Prova matemática

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Em matemática, uma prova é uma demonstração de que, dados certos axiomas, algum enunciado de interesse é necessariamente verdadeiro.

As provas empregam lógica mas usualmente incluem alguma quantidade de linguagem natural, o que obviamente admite ambigüidade. De fato, a grande maioria das provas na matemática escrita pode ser considerada como aplicações da lógica informal. No contexto da teoria da prova, em que as provas puramente formais são consideradas, tais demonstrações não inteiramente formais são freqüentemente chamadas de "provas sociais". A distinção levou à análise da prática matemática atual e histórica, do quasi-empiricismo em matemática e da então chamada matemática popular (em ambos os sentidos deste termo). A filosofia da matemática preocupa-se com o papel da linguagem e da lógica em provas, e da matemática como linguagem.

Independentemente da atitude que se tenha em relação ao formalismo, o resultado provado é um teorema; em uma prova completamente formal isto seria o ponto final, e a prova completa mostra como o resultado segue apenas dos axiomas. Uma vez o teorema provado, ele pode ser usado como base para provar outros enunciados. As chamadas fundações da matemática são aqueles enunciados que não se pode, ou não é necessário, provar. Estes foram uma vez o estudo primário dos filósofos da matemática. Hoje o foco é mais na prática matemática, isto é, técnicas aceitáveis.

Algumas técnicas de prova comuns são:

Prova direta: a conclusão é estabelecida através da combinação lógica dos axiomas, definições e teoremas já existentes.
Prova por indução: um caso base é provado e uma regra de indução é usada para provar uma série de outros casos (normalmente infinita).
Prova por contradição (também conhecida como reductio ad absurdum): é mostrado que se algum enunciado fosse verdadeiro, ocorreria uma contradição lógica, e portanto o enunciado deve ser falso.
Prova por construção: consiste em constuir um exemplo concreto com determinada propriedade para mostrar que existe algo com tal propriedade.
Prova por exaustão: a conclusão é estabelecida dividindo o problema em um número finito de casos e provando cada um separadamente.

Uma prova probabilística significa uma prova na qual se mostra a existência de algo através de métodos da teoria da probabilidade - e não um argumento de que o teorema é 'provavelmente' verdadeiro. Este último tipo de raciocínio pode ser chamado de 'argumento de plausibilidade'; no caso da conjectura de Collatz deve estar claro o quão longe isto é de uma prova genuína. Provas probabilísticas são uma das muitas maneiras de provar teoremas de existência, aalém de prova por construção.

Uma prova combinatorial estabelece a equivalência de diferentes expressões mostrando que elas contam o mesmo objeto de maneiras diferentes. Normalmente um correspondência um-a-um é usada para mostrar que as duas interpretações fornecem o mesmo resultado.

Se nós estivermos provar, por exemplo, que "algum X satisfaz f(x)", uma prova não-construtiva provará que existe um x que satisfaz f(x), mas não mostra como este x é obtido. Uma prova construtiva, por outro lado, mostra.

Um enunciado que se pensa ser verdadeiro mas ainda não foi provado é conhecido como uma conjectura.

Às vezes é possível provar que um determinado enunciado não pode ser provado a partir de um dado conjunto de axiomas; veja por exemplo a hipótese do contínuo. Em muitos sistemas axiomáticos há enunciados que não podem ser provados nem refutados; veja o Teorema da incompletude de Gödel.