Задача двух тел

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В классической механике, задача двух тел состоит в том, чтобы определить движение двух точечных частиц, которые взаимодействуют только друг с другом. Распространённые примеры включают спутник, обращающийся вокруг планеты, планета, обращающаяся вокруг звезды, две звезды, обращающиеся вокруг друг друга (двойная звезда), и классический электрон, движущийся вокруг атомного ядра.

Задачу двух тел можно представить как две независимых задачи задачи одного тела, которые привлекают решение для движения одной частицы во внешнем потенциале. Так как многие задачи с одним телом могут быть решены точно, соответствующая задача с двумя телами также может быть решена. В отличие от этого, задача с тремя телами (и, более широко, задача n тел) не может быть решена, кроме специальных случаев.

Два тела с одинаковой массой, двигущиеся по кругу вокруг общего центра масс по эллиптическим орбитам.

Два тела с небольшой разницей в массах движущиеся по круговым орбитам вокруг общего центра масс. Этот специфический тип орбиты подобен системе Плутон - Харон.

Содержание

1 Постановка задачи
- 1.1 Движение центра масс (первая задача)
- 1.2 Движения вектора смещения (вторая задача)
2 Движение двух тел в плоскости
3 Общее решение для силы, зависящей от расстояния
- 3.1 Применение
4 Пример
5 См. также
6 Ссылки

[править] Постановка задачи

Пусть $\mathbf{x}_{1}$ и $\mathbf{x}_{2}$ радиус-векторы двух тел, а $m 1$ и $m 2$ их массы. Наша цель определить траектории $\mathbf{x}_{1}(t)$ и $\mathbf{x}_{2}(t)$ для любого времени $t$ , при заданных начальных координатах и скоростях

$\mathbf{x}_{1}(t=0)$ , $\mathbf{x}_{2}(t=0)$ ,

$\mathbf{v}_{1}(t=0)$ , $\mathbf{v}_{2}(t=0)$ .

Второй закон Ньютона применительно к данной системе утверждает, что

$\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot\mathbf{x}_{1} \quad \quad \quad (1)$

$\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot\mathbf{x}_{2} \quad \quad \quad (2)$

где

$\mathbf{F}_{12}$ - сила действующая на первое тело из-за взаимодействием со вторым телом, и

$\mathbf{F}_{21}$ сила действующая на второе тело со стороны первого.

Складывая и вычитая эти два уравнения, можно разделить одну задачу на две задачи с одним телом, которые могут быть решены независимо. "Сложение" уравнений (1) и (2) приводит к уравнению, описывающему движение центра масс . В отличие от этого, "вычитание" уравнения (2) из уравнения (1) приводит к уравнению, которое описывает как вектор $\mathbf{r} \equiv \mathbf{x}_{1} - \mathbf{x}_{2}$ между массами изменяется со временем. Решение этих независимых задач может помочь в нахождении траекторий $\mathbf{x}_{1}(t)$ and $\mathbf{x}_{2}(t)$ .

[править] Движение центра масс (первая задача)

Сложение уравнений (1) и (2) приводит к равенству

$m_{1}\ddot\mathbf{x}_{1} + m_{2}\ddot\mathbf{x}_{2} = (m_{1} + m_{2})\ddot\mathbf{x}_{cm} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0$

где мы использовали третий закон Ньютона $\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}$ и где

$\mathbf{x}_{cm} \equiv \frac{m_{1}\mathbf{x}_{1} + m_{2}\mathbf{x}_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

позиция центра масс системы. уравнение в итоге запишется в виде

$\ddot\mathbf{x}_{cm} = 0$

Оно показывает, что скорость $\dot\mathbf{x}_{cm}$ центра масс постоянна. Отсюда следует, что полный момент количества движения $m_{1}\dot\mathbf{x}_{1} + m_{2}\dot\mathbf{x}_{2}$ также сохраняется (сохранение импульса). Позиция и скорость центра масс может быть получена в любой момент времени.

[править] Движения вектора смещения (вторая задача)

Вычитая уравнение (2) из уравнения (1) и преобразуя приходим к уравнению

$\ddot\mathbf{x}_{1} - \ddot\mathbf{x}_{2} = \left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right) = \left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}$

где мы снова использовали третий закон Ньютона $\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}$ и где $\mathbf{r}$ (определённый выше) - вектор смещения, направленный от второго тела к первому.

Сила между двумя телами должна быть функцией только $\mathbf{r}$ а не абсолютных положений $\mathbf{x}_{1}$ и $\mathbf{x}_{2}$ ; в противном случае задача не имеет трансляционной симметрии, то есть законы физики менялись бы от точки к точке. Таким образом можно записать:

$\mu \ddot\mathbf{r} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})$

где $μ$ -приведённая масса

$\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}} = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

Как только мы найдём решение для $\mathbf{x}_{cm}(t)$ и $\mathbf{r}(t)$ , первоначальные траектории можно записать в виде

$\mathbf{x}_{1}(t) = \mathbf{x}_{cm}(t) + \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \mathbf{r}(t)$

$\mathbf{x}_{2}(t) = \mathbf{x}_{cm}(t) - \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \mathbf{r}(t)$

как может быть показано подстановкой в уравнения для $\mathbf{x}_{cm}(t)$ и $\mathbf{r}(t)$ .

[править] Движение двух тел в плоскости

Замечательно, что движение двух тел всегда происходит в плоскости. Определим линейный импульс $\mathbf{p} = \mu \dot\mathbf{r}$ и угловой момент

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$

Скорость изменения углового момента равна моменту силы $\mathbf{N}$

$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \dot\mathbf{r} \times \mu\dot\mathbf{r} + \mathbf{r} \times \mu\ddot\mathbf{r} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{N}$

однако законы движения Ньютона выполняются для всех физических сил, и гласят, что сила, действующая между двумя частицами (материальными точками) направлена по линии соединяющей их положения, то есть $\mathbf{F} \propto \mathbf{r}$ . Отсюда $\mathbf{r} \times \mathbf{F} = 0$ и угловой момент сохраняется. тогда вектор смещения $\mathbf{r}$ и его скорость $\dot\mathbf{r}$ лежат в плоскости перпендикулярной постоянному вектору $\mathbf{L}$ .

[править] Общее решение для силы, зависящей от расстояния

Часто полезно перейти в полярные координаты, поскольку движение происходит в плоскости и для многих физических задач сила $\mathbf{F}(\mathbf{r})$ является функцией радиуса $r$ (центральные силы). Поскольку r-компонента ускорения равняется $\ddot{r} - r \dot{\theta}^{2}$ , уравнение для r-компоненты вектора смещения $\mu \ddot\mathbf{r} = \mathbf{F}(r) \equiv F(r)$ можно переписать в виде

$\mu\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \mu r \omega^{2} = \mu\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \frac{L^{2}}{\mu r^{3}} = F(r)$

где $\omega \equiv \dot\theta$ и угловой момент $L = μ r 2 ω$ сохраняется. сохранение углового момента позволят найти решение для траектории $r (θ)$ используя замену переменных. Переходя от $t$ к $θ$

$\frac{d}{dt} = \frac{L}{\mu r^{2}} \frac{d}{d\theta}$

получим уравнение движения

$\frac{L}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{\mu r^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right)- \frac{L^{2}}{\mu r^{3}} = F(r)$

Это уравнение становится квазилинейным при замене переменных $u \equiv \frac{1}{r}$ и умножение обоих частей уравнения на $\frac{\mu r^{2}}{L^{2}} = \frac{\mu}{L^{2} u^{2}}$

$\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{\mu}{L^{2}u^{2}} F(1/u)$

[править] Применение

Для сил $F$ обратно пропорциональных квадрату расстояния, таких как гравитация или электростатика в классической физике получим

$F = \frac{\alpha}{r^{2}} = \alpha u^{2}$

для некоторых констант $α$ , уравнение для траекторий становится линейным

$\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{\alpha \mu}{L^{2}}$

Решение этого уравнения

$u(\theta) \equiv \frac{1}{r(\theta)} = -\frac{\alpha \mu}{L^{2}} + A \cos(\theta - \theta_{0})$

где $A > 0$ и $θ 0$ константы. Это решение показывает, что орбита представляет собой коническое сечение, то есть эллипс, гиперболу или параболу, в зависимости от того меньше $A$ выражения $-\frac{\alpha \mu}{L^{2}}$ , больше или равно.

[править] Пример

Любая классическая система состоящая из двух частиц, по определению задача двух тел. Во многих случаях, однако, одно тело много тяжелее другого, как например в системе Земля и Солнце. В таких случаях более тяжёлая частица играет роль центра масс и задача сводится к задаче о движения одного тела в потенциале другого.

[править] См. также

[править] Ссылки

Курс теоретической физики Ландау и Лифшица

H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

Категории: Небесная механика | Классическая механика