Законы Кеплера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Еще в начале XVII века (то есть до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения) немецкий астроном Иоганн Кеплер впервые решился пересмотреть причины движения планет вокруг Солнца, Луны вокруг Земли. Он ошибался в оценке природы притягивающей силы, но догадывался, что Солнце искажает притяжением пути планет, которые стремятся двигаться по прямой. Кеплер на основе результатов кропотливых и многолетних наблюдений Тихо Браге за планетой Марс смог определить форму его орбиты и вывести три закона движения планет. Открытие этих законов явилось важнейшим этапом в развитии гелиоцентризма.

Позднее, после открытия Ньютоном закона всемирного тяготения, законы Кеплера были выведены как точное решение задачи двух тел.

Содержание

1 Первый закон Кеплера (Закон эллипсов)
2 Второй закон Кеплера (Закон площадей)
3 Третий закон Кеплера (Гармонический закон)
4 См. также

[править] Первый закон Кеплера (Закон эллипсов)

Первый закон Кеплера.

Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсy, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форму эллипса степень его сходства с окружностью будет тогда характеризовать отношение: $e=\frac{c}{a}$ , где $c$ - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния); $a$ - большая полуось. Величина $e$ называется эксцентриситетом эллипса. При $c = 0$ и $e = 0$ эллипс превращается в окружность.

Доказательство первого закона Кеплера

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что "каждый объект во вселенной притягивает каждый другой объект по линии соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами." Это предполагает, что ускорение a имеет форму

$\mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}.$

Вспомним, что в полярных координатах

$\frac{d\mathbf{r}}{dt} =\dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\theta\hat{\boldsymbol\theta},$

$\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta}.$

В координатной форме запишем

$\ddot r - r\dot\theta^2 = f(r),$

$r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = 0.$

Подставляя $\ddot \theta$ и $\dot r$ во второе уравнение, получим

$r { d \dot\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0,$

которое упрощается

$\frac{d\dot\theta}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}.$

После интегрирования запишем выражение

$\log\dot\theta = -2\log r + \log\ell,$

$\log\ell = \log r^2 + \log\dot\theta,$

$\ell = r^2\dot\theta,$

для некоторой константы $\ell$ , которая является удельным угловым моментом ( $\ell=\mathbf{r}\times \mathbf{v}$ ).Пусть

$r = \frac{1}{u},$

$\dot r = -\frac{1}{u^2}\dot u = -\frac{1}{u^2}\frac{d\theta}{dt}\frac{du}{d\theta}= -\ell\frac{du}{d\theta},$

$\ddot r = -\ell\frac{d}{dt}\frac{du}{d\theta} = -\ell\dot\theta\frac{d^2u}{d\theta^2}= -\ell^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}.$

Уравнение движения в направлении $\hat{\mathbf{r}}$ становится равным

$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right).$

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

$f \left( {1 \over u} \right) = f(r)= - \, { GM \over r^2 } = - GM u^2$

где G - универсальная гравитационная константа и M - масса звезды.

В результате

$\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.$

Это дифференциальное уравнение имеет общее решение:

$u = \frac{GM}{\ell^2} \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .$

для произвольных констант интегрирования e и θ₀.

Заменяя u на 1/r и полагая θ₀ = 0 получим:

$r = { 1 \over u } = \frac{ \ell^2 / GM }{ 1+ e\cos\theta}.$

Это в самом деле есть уравнение конического сечения с эксцентриситетом e и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом первый закон кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

[править] Второй закон Кеплера (Закон площадей)

Второй закон Кеплера.

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём площадь сектора орбиты, описанная радиусом-вектором планеты, изменяется пропорционально времени.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий - ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий - наиболее удалённая точка орбиты. Тогда можно утверждать, что планета движется вокруг Солнца неравномерно: имея линейную скорость в перигелие больше, чем в афелие.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее; поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Доказательство второго закона Кеплера

По определению угловой момент $\mathbf{L}$ точечной частицы с массой $m$ и скоростью $\mathbf{v}$ записывается в виде:

$\mathbf{L} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times ( m \mathbf{v} )$ .

где $\mathbf{r}$ - радиус-вектор частицы а $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ - импульс частицы.

По определению

$\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt}$ .

В результате мы имеем

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\frac{d\mathbf{r}}{dt}$ .

Продифференцируем обе части уравнения по времени

$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = (\mathbf{r} \times \mathbf{F}) + \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times m\frac{d\mathbf{r}}{dt} \right) = ( \mathbf{r} \times \mathbf{F} ) + ( \mathbf{v} \times \mathbf{p} ) = 0$

поскольку векторное произведение параллельных векторов равно нулю. Заметим, что F всегда параллелен r, поскольку сила радиальная, и p всегда параллелен v по определению. Таким образом можно утверждать, что $|\mathbf{L}|$ - константа.

[править] Третий закон Кеплера (Гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет.

$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$ , где $T 1$ и $T 2$ — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а $a 1$ и $a 2$ — длины больших полуосей их орбит.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен; что в действительности в него входит и масса планеты: $\frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$ , где $M$ – масса Солнца, а $m 1$ и $m 2$ – массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их расстояния и орбитальные периоды.

Доказательство третьего закона Кеплера

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равный промежуток времени. Если теперь возьмём очень малые промежутки времени в момент когда планета находится в точках A и B (перигелий и афелий), тогда мы можем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами равными расстоянию от планеты до солнца, и основанием равным произведению скорости планеты на время.

$\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1-\epsilon)a\cdot V_A\,dt= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B\,dt$

$(1-\epsilon)\cdot V_A=(1+\epsilon)\cdot V_B$

$V_A=V_B\cdot\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}$

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках A и B запишем

$\frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\epsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\epsilon)a}$

$\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\epsilon)a}-\frac{GM}{(1+\epsilon)a}$

$\frac{V_A^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1}{(1-\epsilon)}-\frac{1}{(1+\epsilon)} \right )$

$\frac{\left ( V_B\cdot\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}\right ) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\epsilon-1+\epsilon}{(1-\epsilon)(1+\epsilon)} \right )$

$V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}\right ) ^2-V_B^2=\frac{2GM}{a}\cdot \left ( \frac{2\epsilon}{(1-\epsilon)(1+\epsilon)} \right )$

$V_B^2 \cdot \left ( \frac{(1+\epsilon)^2-(1-\epsilon)^2}{(1-\epsilon)^2}\right )=\frac{4GM\epsilon}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}$

$V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+2\epsilon+\epsilon^2-1+2\epsilon-\epsilon^2}{(1-\epsilon)^2} \right) =\frac{4GM\epsilon}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}$

$V_B^2 \cdot 4\epsilon =\frac{4GM\epsilon\cdot (1-\epsilon)^2}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}$

$V_B =\sqrt{\frac{GM\cdot(1-\epsilon)}{a\cdot(1+\epsilon)}}.$

Теперь, когда мы нашли $V B$ , мы можем найти секториальную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса, например для точки B получим

$\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B$

$= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot \sqrt{\frac{GM\cdot(1-\epsilon)}{a\cdot(1+\epsilon)}} = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}$

Однако полная площадь эллипса равна $\pi a \sqrt{(1-\epsilon^2)}a$ . (Это тоже самое, что и $π a b$ , поскольку $b=\sqrt{(1-\epsilon^2)}a$ ). Время полного оборота таким образом

$T\cdot \frac{dA}{dt}=\pi a \sqrt{(1-\epsilon^2)}a$

$T\cdot \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}=\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2$

$T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2\pi a^2}{\sqrt{GMa}}= \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}$

$T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.$

Заметим, что если масса m не пренебрежимо мала по сравнению с M, тогда планета будет обращаться вокруг Солнца с тойже скоростью и по тойже орбите, что и материальная точка обращающаяся вокруг массы $M + m$ (см. приведённая масса). Массу M нужно в последней формуле заменить на $M + m$ :

$T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.$