Конус

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Прямой круговой конус

У этого термина существуют и другие значения, см. Конус (значения).

Ко́нус — тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса. Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны. Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания. Если основание конуса представляет собой многоугольник, конус становится пирамидой; таким образом, пирамиды являются подмножеством конусов. Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса. Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой) поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.

Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса. Если же ортогональная проекция вершины не совпадает с центром симметрии основания, то конус называется косым или наклонным.

Если основание конуса является кругом, конус называется круговым. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).

Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен
$2\pi \left(1 - \cos {\alpha \over 2} \right)$ ,
где α — угол раствора конуса (т. е. удвоенный угол между осью конуса и любой прямой на его боковой поверхности).

Площадь боковой поверхности такого конуса равна
$π R l$ , где R — радиус основания, l — длина образующей.

Объем кругового конуса равен
$V={1 \over 3} \pi R^2H$

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Конус, опирающийся на эллипс, параболу или гиперболу, называют соответственно эллиптическим, параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).

Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом.

Конус может быть определён и в пространствах с метрикой, отличной от евклидовой (например, световой конус в пространстве Минковского).