Ортогональный базис

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов $e 1, e 2,..., e n,...$ гильбертова пространства $X$ такая, что любой элемент $x\in X$ однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

$x=\sum_{n=1}^\infty a_ne_n$

называемым рядом Фурье элемента $x$ по системе ${e n}$ . Обычно базис ${e n}$ выбирается так, что $| e n | = 1$ , и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа $a n$ , называются коэффициентами Фурье элемента $x$ по ортонормированному базису ${e n}$ , имеют вид

$a_n=\langle x,e_n\rangle$ .

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормпрованная система ${e n}$ была базисом, является равенство Парсеваля

$x=\sum_{n=1}^\infty \langle x,e_n\rangle e_n$

для любого $x\in X$ . Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел ${a n}$ такая, что $\sum a_n^2<\infty$ , то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом ${e n}$ ряд $\sum_{n=1}^\infty a_ne_n$ - сходится по норме к некоторому элементу $x\in X$ . Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству $l 2$ (теорема Рисса — Фишера).

[править] См.также

Категория: Функциональный анализ

Ортогональный базис

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] См.также

Views

Навигация

Участие

Поиск