Отношение (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В математике отношениями называют объекты, напоминающие своими свойствами равенство (=) или отношение <.

Отношение может также означать результат операции деления, см. например двойное отношение, отношение направленных отрезков.

[править] Формальное определение

n-местным (n-арным) отношением, заданным на множестве M, называется подмножество n-й декартовой степени множества M (т.е. множества векторов длины n с координатами из M).

Пусть данное отношение обозначается символом R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать так: ${<}x_1, x_2, \dots, x_n{>} \in R$ .

Одноместные отношения называются свойствами.
Двуместные отношения называют бинарными и обычно записывают инфиксной записью: x R y. Бинарные отношения используются наиболее часто.
Трёхместные отношения называют тернарными.

[править] Примеры

Отношение равенства на множестве вещественных чисел — бинарное отношение, обозначающееся символом «=». Ему принадлежат все пары вида $< x, x >$ , и только они.

Отношение эквивалентности на произвольном множестве M — бинарное отношение, обычно обозначаемое символом «~». Состоит из пар вида $< x, y >$ , где x и y принадлежат одному классу эквивалентности, и только из них.

Отношение делимости на множестве натуральных чисел — бинарное отношение, обычно обозначаемое символом «|». Состоит из пар вида $< x, y >$ , где x делит y нацело.

Отношение также может быть задано предикатом на n-й декартовой степени M: n-ка принадлежит отношению тогда и только тогда, когда предикат на ней возвращает значение 1.

Отношение, задаваемое предикатом «являться простой четвёркой» — четырьмя последовательными нечётными простыми числами. Четырёхместное отношение на можестве натуральных чисел, состоит из четвёрок описанного выше вида.