Простое число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Просто́е число́ — это натуральное число, большее единицы, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел.

Последовательность простых чисел начинается с

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113 (см. список простых чисел для первых 500 простых).

Натуральное число, имеющее больше двух делителей, называется составным. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные.

Содержание

1 Разложение натуральных чисел в произведение простых
2 Тесты простоты
3 Сколько существует простых чисел?
4 Наибольшее известное простое
5 Некоторые свойства
6 Открытые вопросы
7 Приложения простых чисел
8 См. также
9 Литература
10 Списки

[править] Разложение натуральных чисел в произведение простых

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы (1), представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом (с точностью до порядка следования сомножителей). Таким образом, простые числа — «элементарные строительные блоки» натуральных чисел.

Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестно полиномиальных алгоритмов факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует. (Здесь и далее речь идёт о полиномиальной зависимости времени работы алгоритма от логарифма проверяемого числа, то есть от количества его цифр). На алгоритмической сложности задачи факторизации базируется криптосистема RSA.

[править] Тесты простоты

Эратосфен Киренский

Решето Эратосфена — это простой способ нахождения списка простых чисел до некоторого значения. На практике обычно возникает необходимость проверить, является ли число простым, а не получать список простых чисел.

Существует множество полиномиальных алгоритмов проверки того, является ли данное число $n$ простым, называемых тестами простоты. Большинство таких алгоритмов являются вероятностными (например, тест Миллера — Рабина) и используются для нужд криптографии. Только в 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный алгоритм имеет довольно большую сложность, что затрудняет его практическое применение.

Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты. Например, для проверки на простоту чисел Мерсенна используется тест Люка — Лемера.

[править] Сколько существует простых чисел?

Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма всех чисел, обратных к простым, расходится.

Известная теорема о распределении простых чисел утверждает, что количество простых чисел меньших $n$ , обозначаемое $π(n)$ , растет как $n / ln(n)$ .

[править] Наибольшее известное простое

Наибольшим известным простым числом по состоянию на сентябрь 2006 года является $232582657 - 1$ . Оно содержит 9 808 358 десятичных цифр и является 44-м известным простым числом Мерсенна (M_32582657). Его нашли 4 сентября 2006 года Кертис Купер и Стивен Бун из Университета штата Миссури (Central Missouri State University), участники проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS.

Предыдущее наибольшее известное простое число $230402457 - 1$ содержит 9 152 052 десятичных цифры и является 43-м известным простым числом Мерсенна (M_30402457). Его нашли 15 декабря 2005 года также Кертис Купер и Стивен Бун в рамках проекта GIMPS.

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые. За нахождение простого числа из более чем 10⁷ десятичных цифр EFF назначила награду в 100000 долларов США.

[править] Некоторые свойства

Если $p$ — простое, и $p$ делит $a b$ , то $p$ делит $a$ или $b$ . Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно как лемма Евклида. Оно используется в доказательстве основной теоремы арифметики.
Кольцо вычетов $\mathbb{Z}_n$ является полем тогда и только тогда, когда $n$ — простое.
Характеристика каждого поля — это ноль или простое число.
Если $p$ — простое, а $a$ — натуральное, то $a p - a$ делится на $p$ (малая теорема Ферма).
Если $G$ — конечная группа с $p n$ элементов, то $G$ содержит элемент порядка $p$ .
Если $G$ — конечная группа, и $p n$ — максимальная степень $p$ , которая делит $| G |$ , то $G$ имеет подгруппу порядка $p n$ , называемую силовской подгруппой, более того, количество силовских подгрупп равно $p k + 1$ для некоторого целого $k$ (теоремы Силова).
Натуральное $p > 1$ является простым тогда и только тогда, когда $(p - 1)! + 1$ делится на $p$ (теорема Вильсона).
Если $n > 1$ — натуральное, то существует простое $p$ , такое, что $n < p < 2 n$ (постулат Бертрана).
Ряд чисел, обратных к простым, расходится. Более того,

$\lim_{x\to\infty} \sum_{p<x} \frac{1}{p}\ \sim\ \ln \ln x$

Любая арифметическая прогрессия вида $a, a + q, a + 2 q, a + 3 q,...$ , где $a, q > 1$ — целые взаимно-простые числа, содержит бесконечно много простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).

[править] Открытые вопросы

До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел. Например:

Проблема Гольдбаха: верно ли, что каждое чётное число больше двух может быть представлено в виде суммы двух простых чисел? Верно ли, что каждое нечётное число больше 5 может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел?
Простые близнецы — это простые числа, разность между которыми равна 2. Верно ли, что существует бесконечно много простых близнецов?
Содержит ли последовательность чисел Фибоначчи бесконечное количество простых?
Конечно ли количество простых чисел Ферма (то есть чисел вида $2^{2^n}+1$ )?
Всегда ли найдется простое число между $n 2$ и $(n + 1) 2$ ?
Бесконечно ли количество простых вида $n 2 + 1$ ?

[править] Приложения простых чисел

Большие простые числа (порядка $10300$ ) используются в криптографии с открытым ключом. Простые числа также используются в хеш-таблицах и для генерации псевдослучайных чисел.