Парадокс Кантора
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Парадо́кс Ка́нтора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.
[править] Формулировка
Предположим, что множество всех множеств 
существует. В этом случае справедливо 
, то есть всякое множество t является подмножеством V. Но из этого следует 
— мощность любого множества не превосходит мощности V.
Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для V, как и любого множества, существует множество-степень 
, и по теореме Кантора 
, что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, V не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что 
для любой формулы A, не содержащей y свободно.
[править] Другая формулировка
Не существует максимального кардинального числа. В самом деле: пусть оно существует и равно μ. Тогда по теореме Кантора 2μ > μ.
[править] Выводы
Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 г., обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около 1901 г.) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств. Схема аксиом отвергнута как противоречивая, вместо этого была разработана система ограничений на вид условия, задаваемого формулой A.
