Поле Киллинга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Поле Киллинга - это векторное поле скоростей (локальной) однопараметрической группы движений риманова многообразия. Другими словами, поток, который генерируется векторным полем Киллинга, задает непрерывное однопараметрическое семейство движений многообразия, то есть преобразований, относительно которых метрический тензор остается инвариантным. В частности, если метрический тензор $g μν$ в некоторой системе не зависит от одной из координат $x μ$ , тогда векторное поле вдоль этой координаты $\hat{e}_\mu(x) \equiv \partial_\mu$ будет полем Киллинга.

Векторы Киллинга в физике указывают на симметрию физической модели и помогают найти сохраняющиеся величины, такие как энергия, импульс или спин. В теории относительности, например, если метрический тензор не зависит от времени, то в пространстве-времени существует времениподобный вектор Киллинга, с которым связана сохраняющаяся величина — энергия гравитационного поля.

Название дано в честь немецкого математика Вильгельма Киллинга (Wilhelm Killing), открывшего группы Ли и многие их свойства параллельно с Софусом Ли.

[править] Определение

Векторное поле $X$ на $M$ называется полем Киллинга если оно удовлетворяет следующему уравнению:

$\mathcal{L}_X g = 0,$

где $\mathcal{L}_X$ — производная Ли по направлению $X$ , a $g$ — риманова метрика на $M$ . Это уравнение можно переписать через связность Леви-Чивита:

$g(\nabla_Y X, Z) + g(Y, \nabla_Z X) = 0$

для любых полей $Y$ и $Z$ .

В терминах локальных координат:

$\nabla_i X_j + \nabla_j X_i = 0.$

Для задания векторного поля Киллинга достаточно указать его значение, плюс значения всех его (ковариантных) производных первого порядка, всего в одной точке. Из этой точки векторное поле может быть продолжено на все многообразие.

Скобка Ли, или коммутатор двух векторных полей Киллинга дает опять векторное поле Киллинга. Таким образом, векторные поля Киллинга образуют подалгебру бесконечномерной алгебры Ли всех (дифференцируемых) векторных полей на многообразии. Эта подалгебра является алгеброй Ли группы движений многообразия.

[править] Свойства

Линейная комбинация полей Киллинга тоже является полем Киллинга.
- Иллюстрация сложения полей Киллинга на плоскости. Поле вращений вокруг начала координат + поле параллельного переноса вдоль оси y = поле вращений вокруг центра, смещенного относительно начала координат вдоль оси x:
  
  Все три поля являются полями движений плоскости.
Если кривизна Риччи компактного многообразия отрицательна то на нём нет нетривиальный (ненулвых) полей Киллинга .
Если секционная кривизна компактного многообразия положительная и размерность чётная, то поле Киллинга должно иметь нуль.

[править] Примеры

На евклидовой плоскости существует три линейно независимых поля Киллинга
$\xi_1 = \mathbf{e}_x$ , $\xi_2 = \mathbf{e}_y$ , $\xi_3 = -x\mathbf{e}_y+y\mathbf{e}_x$

Первые два поля Киллинга отвечают однопараметрическим подгруппам движений евклидовой плоскости вдоль осей x и y, а последнее - подгруппе вращений вокруг начала координат. Различные комбинации из этих трех подгрупп исчерпывают всевозможные движения плоскости.

В трехмерном евклидовом пространстве R³ существует шесть линейно независимых полей Киллинга:

$\xi_x = \mathbf{e}_x$ , $\xi_y = \mathbf{e}_y$ , $\xi_y = \mathbf{e}_y$

$\zeta_x = -y\mathbf{e}_z + z\mathbf{e}_y$

$\zeta_y = -z\mathbf{e}_x + x\mathbf{e}_z$

$\zeta_z = -x\mathbf{e}_y + y\mathbf{e}_x$

Последние три поля $ζ x$ , $ζ y$ и $ζ z$ являются также полями Киллинга на сфере S² (это становится очевидным если рассматривать ее погруженной в трехмерное пространство).
Однолистный гиперболоид, задаваемый уравнением $x 2 + y 2 - z 2 = 1$ , погруженный в пространство Минковского с метрикой $d s 2 = d x 2 + d y 2 - d z 2$ , имеет три линейно независимых поля Киллинга, подобных полям Киллинга на сфере:

$\zeta_x = y\mathbf{e}_z + z\mathbf{e}_y$

$\zeta_y = z\mathbf{e}_x + x\mathbf{e}_z$

$\zeta_z = -x\mathbf{e}_y + y\mathbf{e}_x$

[править] Вариации и обобщения

Поля Киллинга можно обобщить и ввести понятие конформные поля Киллинга, определяемые по формуле

$\mathcal{L}_X g = \lambda g$

для некоторого скаляра $λ$ . Производные однопараметрических семейств конформных отображений — конформные поля Киллинга. Другое обобщение — конформные тензорные поля Киллинга: симметричные тензорные поля T, такие что симметризация $\nabla T$ равна нулю.