Импульс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Импульс (значения).

Содержание

1 «Школьное» определение импульса
2 Обобщённый импульс в аналитической механике
3 Формальное определение импульса
4 Импульс в нерелятивистской квантовой механике
- 4.1 Формальное определение
- 4.2 «Наивное» определение через волны де Бройля

[править] «Школьное» определение импульса

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорость

$\vec p=\sum_{i}m_i \vec{v}_i,$

соответственно величина $\vec p_i=m_i \vec{v}_i,$ называется импульсом одной материальной точки.

Если мы имеем дело с телом конечного размера, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками и просуммировать по ним, в результате получим:

$\vec p=\int \rho(x,y,z)\vec{v}(x,y,z)dx dy dz.$

Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы) сохраняется во времени:

$\frac{d\vec p}{dt}=0$ . (*)

Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем матточкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).

В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина

$\vec p = \sum_i \frac{m_i \vec v_i}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}}$ ,

где m_i — масса покоя i-й материальной точки.

Для замкнутой системы невзаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как

$p=(E/c,\vec p)=(\frac{m_0 c}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}},\frac{m_0 \vec v}{\sqrt{1-v_i^2/c^2}}).$

В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

[править] Обобщённый импульс в аналитической механике

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости $p_i = \partial {\mathcal L}/\partial \dot{q}_i$ . В случае, если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то в силу уравнений Лагранжа $dp_i/dt=0\,\!$ .

Для свободной частицы функция лагранжа имеет вид: $\mathcal L=-mc^2 \sqrt{1-v^2/c^2}$ , отсюда: $\overrightarrow {p}= \frac{m \overrightarrow {v}}{ \sqrt{1-v^2/c^2}}$

Независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве следует из свойства однородности пространства: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства мы её поместим. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины. Эту величину и называют импульсом (обычным, не обобщённым).

[править] Формальное определение импульса

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (относительно трансляций).

[править] Импульс в нерелятивистской квантовой механике

[править] Формальное определение

В квантовой механике импульсом частицы называют оператор-генератор группы трансляций.

В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц

$\hat{\vec P}=\sum_j \hat{\vec p}_j= \sum -i\hbar \nabla_j$

[править] «Наивное» определение через волны де Бройля

Категории: Базовые понятия физики | Физические величины | Механика

Импульс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] «Школьное» определение импульса

[править] Обобщённый импульс в аналитической механике

[править] Формальное определение импульса

[править] Импульс в нерелятивистской квантовой механике

[править] Формальное определение

[править] «Наивное» определение через волны де Бройля

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках