Теория Морса
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Тео́рия Мо́рса — общее название теорий, основывающихся на идеях Морса (Morse) и описывающих связь алгебро-топологических свойств топологического пространства с критическими точками гладкой функции (функционалов) на нём.
Теория Морса является разделом вариационного исчисления в целом; однако последнее шире: например, оно включает в себя теорию категорий в смысле Люстерника — Шнирельмана.
[править] Основные результаты
- Лемма Морса
- Если множество f − 1([a,b]) компактно, не пересекается с краем многообразия M и содержит ровно одну критическую точку, имеющую индекс Морса k, то f − 1(b) диффеоморфно многообразию, полученному из f − 1(a) приклеиванием ручки индекса k, см хирургия. В частности,
- Если M — замкнутое гладкое многообразие, обладающее функцией с ровно двумя критнческими точками (причем обе невырожденные), то M получается гладкой склейкой двух шаров по их общей границе и потому гомеоморфно (но, вообще говоря, не диффеоморфно) сфере Sn.
- Каждой функции Морса f на гладком многообразии M (без края) отвечает гомотопически эквивалентное многообразию M клеточное пространство, клетки которого находятся в биективном соответствии с критическими точками функции f, причем размерность клетки равна индексу соответствующей критической точки. Отсюда непосредственно следуют неравенства Морса
[править] Литература
- Милнор, Дж., Теория Морса 1965, 184 с.
