Уравнения Гамильтона — Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В физике и математике, уравнения Гамильтона — Якоби возникают из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, нелинейному дифференциальному уравнению, чьё решение описывает поведение динамической системы. В противоположность с уравнениями движения Гамильтона, которые содержат по одному дифференциалу по одной переменной в каждом уравнении. Уравнение Гамильтона — Якоби помогает решить задачу Кеплера элегантно. Если гамильтониан имеет вид $H(q_1,\dots,q_n;p_1,\dots,p_n;t)$ , то уравнение Гамильтона — Якоби запишется в виде

$H\left(q_1,\dots,q_n;\frac{\partial S}{\partial q_1},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_n};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.$

Здесь S обозначает классическое действие.

[править] Каноническое преобразование

Уравнение Гамильона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой генерирующей функции $S (q, p', t)$ (пренебрегая индексами), уравнения движения не изменяются для H(q, p, t) и H'(q',p',t)

$(1) \qquad {\partial S \over \partial q} = p, \qquad {\partial S \over \partial p'} = q', \qquad H' = H + {\partial S \over \partial t}$

Новые уравнения движения становятся

$(2) \qquad {\partial H' \over \partial q'} = - {dp' \over dt}, \qquad {\partial H' \over \partial p'} = {dq' \over dt}.$

Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической генерирующей функции S, которая делает H' тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются и

$(3) \qquad {dp' \over dt} = {dq' \over dt} = 0.$

Таким образом, в штрихованной системе координат, система совершенно стационарна в фазовом пространтсве. Однако, мы еще не определили, при помощи какой генерирующей функции S достигается преобразование в штрихованную систему координат, таким образом мы используем тот факт что

$H'(q',p',t) = H(q,p,t) + {\partial S \over \partial t} = 0.$

Поскольку уравнение (1) даёт $p=\partial S/\partial q$ это можно записать

$H\left(q,{\partial S \over \partial q},t\right) + {\partial S \over \partial t} = 0,$

что является уравнением Гамильтона — Якоби.

[править] Решение

Уравнение Гамильтона — Якоби часто решают методом разделения переменных

$S=S_1(q_1;\alpha_1,\dots,\alpha_n;t)+S_2(q_2;\alpha_1,\dots,\alpha_n;t)+\cdots+S_n(q_n;\alpha_1,\dots,\alpha_n;t)+at,$

где $α i$ and $a$ произвольная константы интегрирования которые возникают из решения дифференциального уравнения первого порядка от (n + 1)-переменных, и также канонических импульсов p' в штрихованной системе координат. Мы использовали имя переменной $α$ чтобы выделить тот факт, что в штрихованной системе координат все импульсы постоянны, как показывает уравнение (3). Таким образом из уравнения (1),

$(4) \qquad q'=\beta={\partial S(q,\alpha,t) \over \partial \alpha}.$

Наконец, если мы обратим уравнение (4), мы можем написать q в терминах констант $α$ и $β$ и также времени t. Это полностью решает систему — $α$ , и $β$ определяют начальные условия системы, и решение задаётся обращением уравнения (4), которое говорит Вам положение в любой будущий момент времени. Причина в том, что существует два начальных условия для каждой координаты, что каждая координата имеет начальную значение но также и начальный импульс, который должен быть включён в решение.

[править] Ссылки

H. Goldstein (2002). Classical Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0201657023.
A. Fetter and J. Walecka (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover Books. ISBN 0486432610.

[править] См. также

Категория: Классическая механика

Уравнения Гамильтона — Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Каноническое преобразование

[править] Решение

[править] Ссылки

[править] См. также

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках