Функциональная производная
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В математике и теоретической физике, функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления.
Два возможных строгих определения удобны для последующих вычислений, но существует много других определений.
Для функционала F отображающего (непрерывные/гладкие/с определёнными граничными условиями/и т.д.) функции φ из многообразия M на R или C, функциональная производная F обозначаемая δF — обобщённой функцией, такая, что для всех пробных функций f выполнено
![\delta F[\phi]=\left.\frac{d}{d\epsilon}F[\phi+\epsilon f]\right|_{\epsilon=0}.](../../../math/3/f/a/3faf77d5fe6d98e326657abfbb544bb5.png)
Другое определение в терминах дельта-функции Дирака δ:
![\frac{\delta F[\phi(x)]}{\delta \phi(y)}=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\phi(x)+\varepsilon\delta(x-y)]-F[\phi(x)]}{\varepsilon}.](../../../math/3/f/7/3f7156145819e6db4b864bb51a2c9f10.png)
