Derivata funzionale

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In matematica e in fisica teorica, la derivata funzionale è una generalizzazione della derivata direzionale. La differenza è che la seconda differenzia nella direzione di un vettore, mentre la prima differenzia nella direzione di una funzione. Entrambe possono essere viste come estensioni dell'usuale derivata.

Due possibili definizioni ristrette, appropriate per alcuni calcoli, sono date qui. Ci sono definizioni più generali di derivata funzionale.

Per un funzionale F che trasforma funzioni (continue/lisce/ con certe condizioni al contorno/etc.) φ da una varietà differenziale M a R o C, la derivata funzionale di F, denotata δF è una distribuzione tale che per tutte le funzioni generalizzate f,

$\delta F[\phi]=\left.\frac{d}{d\epsilon}F[\phi+\epsilon f]\right|_{\epsilon=0}.$

Un'altra definizione e' in termini di un limite e della Funzione delta di Dirac, δ:

$\frac{\delta F[\phi(x)]}{\delta \phi(y)}=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac{F[\phi(x)+\varepsilon\delta(x-y)]-F[\phi(x)]}{\varepsilon}.$

[modifica] Descrizione formale

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La definizione di una derivata funzionale puo' essere resa molto più matematicamente precisa e formale definendo lo spazio delle funzioni piu' prudentemente. Per esempio, quando lo spazio delle funzioni e' uno spazio di Banach, la derivata funzionale diventa nota come la derivata di Fréchet, mentre si usa la derivata di Gâteaux su spazi localmente convessi più generali. Notare che il ben noto spazio di Hilbert è un caso speciale di uno spazio di Banach. La trattazione più formale permette la generalizzazione di molti teoremi dal calcolo e dall'analisi ai teoremi corrispondenti nell'analisi funzionale, come pure l'enunciazione di numerosi nuovi teoremi.

[modifica] Esempi

Vale la pena di discutere brevemente le derivate funzionali oltre la loro definizione matematica formale. Le derivate funzionali appaiono regolarmente nei problemi fisici che obbediscono a principi variazionali, quindi, è utile mostrare come le derivate funzionali sono eseguite attraverso esempi rilevanti rispetto alla fisica.

Dato un funzionale della forma

$F[\rho] = \int f( \mathbf{r}, \rho, \nabla\rho, \nabla^2\rho, \cdots ) d^3r,$

la derivata funzionale può essere scritta come

$\frac{\delta F[\rho]}{\delta \rho} = \frac{\partial f}{\partial \rho} - \nabla\cdot\frac{\partial f}{\partial (\nabla \rho)} + \nabla^2 \frac{\partial f}{\partial (\nabla^2 \rho)} - \cdots.$

Considera il funzionale energia Coulombiana, $J [ρ]$ ,

$J[\rho] = \int \left(\frac{1}{2}\int \frac{\rho(\mathbf{r}) \rho(\mathbf{r}')}{\vert \mathbf{r}-\mathbf{r}' \vert} d^3r'\right) d^3r.$

$J [ρ]$ dipende unicamente dalla densità di carica $ρ$ e non dipende dal suo gradiente, laplaciano, o derivate di ordine superiore. Quindi,

$\frac{\delta J[\rho]}{\delta \rho} = \frac{\partial j}{\partial \rho} = \int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{\vert \mathbf{r}-\mathbf{r}' \vert} d^3r'$

dove

$j = \frac{1}{2}\int \frac{\rho(\mathbf{r}) \rho(\mathbf{r}')}{\vert \mathbf{r}-\mathbf{r}' \vert} d^3r'$

La derivata funzionale seconda del funzionale energia Coulombiana è

$\frac{\delta^2 J[\rho]}{\delta \rho^2} = \frac{\delta}{\delta \rho}\int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{\vert \mathbf{r}-\mathbf{r}' \vert} d^3r' = \frac{\partial}{\partial \rho} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{\vert \mathbf{r}-\mathbf{r}' \vert} = \frac{1}{\vert \mathbf{r}-\mathbf{r}' \vert}$

Come secondo esempio considera il funzionale enegia cinetica di Weizsacker

$T[\rho]=\int \frac{1}{8} \frac{\nabla\rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla\rho(\mathbf{r})}{ \rho(\mathbf{r}) } d^3r$

$T [ρ]$ dipende dalla densità di carica e dal suo gradiente, quindi,

$\frac{\delta T[\rho]}{\delta \rho} = \frac{\partial t}{\partial \rho} - \nabla\cdot\frac{\partial t}{\partial (\nabla \rho)} = -\frac{1}{8} \frac{\nabla\rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla\rho(\mathbf{r})}{ \rho(\mathbf{r})^2 } - \nabla\cdot\left(\frac{1}{4} \frac{\nabla\rho(\mathbf{r})}{ \rho(\mathbf{r}) }\right)$

dove

$t = \frac{1}{8} \frac{\nabla\rho(\mathbf{r}) \cdot \nabla\rho(\mathbf{r})}{ \rho(\mathbf{r}) }$

Infine, nota (benché, una nota piuttosto oscura) che ogni funzione può venire scritta in termini di un funzionale. Per esempio,

$\rho(\mathbf{r}) = \int \rho(\mathbf{r}') \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}') d^3r'.$

Quindi,

$\frac{\delta \rho(\mathbf{r})}{\delta\rho}=\frac{\delta \int \rho(\mathbf{r}') \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}') d^3r'}{\delta \rho} = \frac{\partial \left(\rho(\mathbf{r}') \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\right)}{\partial \rho} = \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')$