Operátor nabla

Z Wikipédie

Nabla (iné názvy: operátor nabla, Hamiltonov operátor, Hamiltonov operátor nabla) je diferenciálny operátor v vektorovej analýze. Označuje sa symbolom nabla $\nabla$ alebo $\vec{\nabla}$ (v anglosaských krajinách $\underline \nabla$ ), aby sa vyjadrila jeho podobnosť s vektorom. Meno nabla je odvodené od názvu hebrejského strunového nástroja, ktorý mal zhruba tento tvar.

Nabla sa používa na skrátený zápis matematických operátorov ako gradient, divergencia, rotácia a iných.

V n-rozmernom priestore Rⁿ vytvára ∇ všetky parciálne derivácie funkcie Rⁿ podle R, čo je presne gradient funkcie f.

Ako n-vektor má nabla tvar: ${\nabla} \equiv \left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right)$

Svojim diferenciálnym charakterom pôsobí operátor napravo (teda na symboly stojace napravo od neho), pričom sa prejavuje jeho vektorový charakter.

V tenzorovej analýze sa operátor nabla ukázal byť dôležitým príkladom kovariantného tenzoru.

Operátor sa označuje aj ako Hamiltonov operátor (pozor na zámenu s pojmom hamiltonián), pretože ho ako prvý používal sir William Rowan Hamilton.

[úprava] Zápis významných vzorcov pomocou operátoru nabla

Následujúce pravidlá platia pre (vo fyzike nejobvyklejší) trojdimenzionálny euklidovský priestor R³ s pravoúhlymi súradnicami x, y a z.

Aplikáciou na skalárne pole $\begin{matrix} \Phi(x,y,z) \end{matrix}$ dostávame gradient tohto skalárneho poľa:

$\operatorname{grad\ }\Phi = \nabla \Phi = \left( \frac{\partial\Phi}{\partial x}, \frac{\partial\Phi}{\partial y}, \frac{\partial\Phi}{\partial z}\right) = \frac{\partial\Phi}{\partial x} \mathbf{e}_x + \frac{\partial\Phi}{\partial y} \mathbf{e}_y + \frac{\partial\Phi}{\partial z} \mathbf{e}_z,$

kde $\mathbf{e}_x,\ \mathbf{e}_y,\ \mathbf{e}_z$ sú jednotkové vektory priestoru R³.

Skalárnym súčinom nably s vektorovým poľom $\begin{matrix} \mathbf{V}(x, y, z) \end{matrix}$ dostávame divergenciu tohto poľa:

$\operatorname{div\ }\mathbf{V} = {\nabla} \cdot \mathbf{V} = \frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}.$

Rotáciu vektorového poľa $\begin{matrix} \mathbf{V}(x, y, z) \end{matrix}$ potom získame vektorovým súčinom $\nabla$ s týmto poľom.

$\operatorname{rot\ }\mathbf{V} = {\nabla} \times \mathbf{V} = \begin{pmatrix} \frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \\ \frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \\ \frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \\ \end{pmatrix}.$

Ďalej potom pre ľubovolné skalárne pole φ, ψ a f a vektorové polia A a B platia nasledujúce operace:

$\nabla(\psi\varphi)=\psi\nabla\varphi+\varphi\nabla\psi$

$\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}+(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})$

$\nabla f(r)=\frac{df}{dr}\frac{ \mathbf{r}}{r}$

$\nabla\cdot(\varphi\mathbf{A})=\varphi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla\varphi$

$\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})$

$\nabla\cdot\nabla\varphi\equiv\Delta\varphi$ (pozri tiež Laplaceov operátor)

$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=\mathbf{0}$

$\nabla\times\varphi\mathbf{A}=\varphi\nabla\times \mathbf{A}-\mathbf{A}\times\nabla\varphi$

$\nabla\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B})=(\mathbf{B}\nabla)\mathbf{A}-\mathbf{B}(\nabla\mathbf{A})+\mathbf{A}(\nabla\mathbf{B})-(\mathbf{A}\nabla)\mathbf{B}$