Del İşlemcisi

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Yöney Analizinde del işlemcisi, 3 boyutlu Kartezyen koordinatlarda nabla işlemcisine denk gelir ve $\nabla$ simgesiyle gösterilir.

Bu işlemci fiziksel matematikte ve yöney (vektöre) analizinde büyük kolaylık sağlaması bakımından bir uzlaşımdır. Temelde kısmi türevdir ve tam türevin çarpanlarından biri olarak düşünülebilir. Bilinen çarpma ve çarpım işlemleriyle yöneysel (vektörel) ve sayıl (skaler) alanlara etkir. Ancak bilinen çarpmayla kullanıldığı halde değişmeli değildir, yazılımda sağ tarafındaki çarpana uygulanır.

Konu başlıkları

1 Tanım
2 Örnekler
3 Özel Görelilikte Del İşlemcisi
- 3.1 Maxwell Denklemlerinin tensör gösterimi

[değiştir] Tanım

Del işlemcisi tam türevden tanımlanır:

$dF=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy+\frac{\partial F}{\partial z}dz=(\hat e_x \frac{\partial F}{\partial x}+ \hat e_y \frac{\partial F}{\partial y}+ \hat e_z \frac{\partial F}{\partial z}) \cdot (e_x dx + e_y dy + e_z dz)=\vec \nabla F \cdot d \vec r$

O halde, işlemci

$\vec \nabla = \hat e_x \frac{\partial}{\partial x}+ \hat e_y \frac{\partial}{\partial y}+ \hat e_z \frac{\partial}{\partial z}$

olarak tanımlanmış olur. Burada ${\partial} / {\partial x_i}$ işlemcisi kısmi türev, $\hat e_i$ 'ler de birim yöneydir. i={1,2,3) n boyutlu Öklit uzayında bu gösterim:

$\vec\nabla = \sum_{i=1}^n \hat e_i {\partial \over \partial x_i}$

olarak genellenebilir. Buradaki $e i$ 'ler birim yöneylerdir ve i=1,2,...,n alınır.

Ayrıca Einstein toplam uzlaşımı gereği nabla işlemcisi tensör olarak:

$\nabla_i = \hat e_i \frac{\partial}{\partial x_i}.$

şeklinde de gösterilebilir. Tensör gösteriminde F 'ye etkiyen del işlemcisi virgülle de gösterilebilir:

$\nabla_i F = \frac{\partial F}{\partial x_i} = \partial_i F = F_{,i}$

Burada i=1,2,3 alınır.

[değiştir] Örnekler

Del işlemcisinin matematikteki çeşitli kullanım alanları: Gradyan, Diverjans, Rotasyonel, Laplasyen.
Elektromanyetizmada Maxwell Denklemleri del işlemcisiyle ifade edilir. $\rho_s\,$ ve $\vec J_s$ sırasıyla serbest yüklerin yoğunluğu ve akısı olmak üzere,

$\nabla \cdot \vec D = \rho_s$

$\nabla \cdot \vec B = 0$

$\nabla \times \vec E = -\frac{\partial \vec B} {\partial t}$

$\nabla \times \vec H = \vec J_s + \frac{\partial \vec D} {\partial t}$

Fizikte korunumlu kuvvetler için potensiyel ifadesi yazılır, bu yüzden korunumlu bir F kuvveti için:

$\vec F=-\nabla \Phi$

ifadesi geçerlidir ki burada $Φ$ göndermesi, eğer F elektriksel kuvvetse elektrik alan, eğer F manyetik kuvvetse manyetik alan ya da eğer F kütleçekim kuvveti ise kütleçekim alanıdır.

Dalga denkleminde

$\nabla^2 F - \frac{1}{c^2} \frac {\partial^2 F}{\partial^2 t}=0$

d'Alembert İşlemcisi

$\square = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 } - \frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }$

[değiştir] Özel Görelilikte Del İşlemcisi

Genelde 3 boyutlu Öklityen uzay ile 4 boyutlu Minkowski uzayı arasındaki fark bu maddede de uygulandığı gibi, 3-yöneyler Latin harfleriyle (i,j,k,...) gösterilirken 4-yöneylerin yunan harfleriyle ( $α,β,...,μ,ν,...$ ) gösterilmesi adet olmuştur.

Del işlemcisi genel olarak her yöne ait kısmi türevdir. Einstein'ın Özel Görelilik kuramında 4-del işlemcisi şu şekilde tanımlanır:

$\partial_\mu = (\frac{\partial}{\partial ct}, \vec \nabla) = (\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$