Sigma-algebra

Wikipedia

En σ-algebra (sigma-algebra) är ett matematiskt objekt som är av central betydelse då man studerar måtteori och integrationsteori.

Innehåll

1 Informell beskrivning
2 Formell beskrivning
3 Snitt och unioner av sigma-algebror
4 Sigma-algebra genererad av familj av delmängder
- 4.1 Exempel: Borel sigma-algebra
- 4.2 Exempel: Produkt sigma-algebra
5 Sigma-algebra genererad av en avbildning
6 Sigma-algebra genererad av flera avbildningar
7 Doob-Dynkins lemma
- 7.1 Bevis av Doob-Dynkins lemma

[redigera] Informell beskrivning

Syftet med begreppet sigma-algebra är att beskriva vilka delar av en given mängd X som man får lov att mäta. Detta är en matematisk motsvarighet till det välkända faktum att man bör anpassa sitt mått efter det man mäter. Exempelvis är det inte lämpligt att mäta upp en liter vatten med en sil!

En ofta använd strategi att lösa problem eller lära sig om hur ett föremål är beskaffat är att splittra upp det i mindre beståndsdelar för att därefter studera dessa separat. Nu kan man inte splittra upp ett objekt i vilka delar som helst, utan dessa måste se ut på ett visst sätt. Den matematiska motsvarigheten till det sätt på vilket ett objekt får splittras i är begreppet sigma-algebra.

[redigera] Formell beskrivning

En σ-algebra (sigma-algebra) över en mängd X är en familj $\mathcal{A}$ av delmängder av X som är sådan att

$\mathcal{A}$ är icke-tom: $X \in \mathcal{A}$
$\mathcal{A}$ är sluten under komplementsbildning: $E \in \mathcal{A} \Rightarrow X \setminus E \in \mathcal{A}$ .
$\mathcal{A}$ är sluten under uppräkneliga unioner. Det innebär att om mängderna $\{U_i\}_{i=1}^{\infty}$ tillhör $\mathcal{A}$ , så är deras union $\cup_{i=1}^\infty U_i$ också ett element i $\mathcal{A}$ .

En viktig detalj att notera är att elementen i en sigma-algebra på X utgörs av delmängder till X, inte punkter i X.

Om vi exempelvis låter X vara två-punkts mängden X = { 0, 1 }, så kan en sigma-algebra på X vara familjen { Ø, X }; I denna sigma-algebra är mängden X ett element.

Ett sätt att visualisera detta är följande.

Låt X vara en LEGO^TM-modell och delmängder till X vara bitar av modellen. En sigma-algebra på X kan då uppfattas som en påse (mängd) som innehåller modellen och dess bitar.

[redigera] Snitt och unioner av sigma-algebror

Låt $A$ och $B$ vara två sigma-algebror på mängden X.

Snittet $A \cap B$ är också en sigma-algebra på X. Den är en del-sigma-algebra av både $A$ och $B$ .
Unionen $A \cup B$ är inte nödvändigtvis en sigma-algebra på X.

Ett exempel som visar att $A \cup B$ inte behöver vara en sigma-algebra, bara för att $A$ och $B$ är det, är följande.

Tag mängden X = {0,1,2} och de två sigma-algebrorna A = { Ø, X, {0}, {1,2} } samt B = { Ø, X, {1}, {0,2} }. Unionen av dessa två sigma-algebror är familjen

$A \cup B = \{ \emptyset, X, \{0\}, \{1\}, \{1,2\}, \{0,2\} \}.$

Om detta vore en sigma-algebra så skulle unionen, {0,1}, av mängderna {0} och {1} vara ett element i $A \cup B$ .

[redigera] Sigma-algebra genererad av familj av delmängder

Låt C vara en godtycklig familj av delmängder till en mängd X. Det finns sigma-algebror, F _i , på X av olika storlekar som har familjen C som en del av sig. Den minsta av dessa sigma-algebror är σ(C): Sigma-algebran genererad av familjen C; Den är definierad som snittet $\cap_i F_i$ av alla de sigma-algebror F _i på X som innehåller familjen C.

[redigera] Exempel: Borel sigma-algebra

Ett exempel på denna konstruktion ges av ett topologiskt rum (X,T): Objektet T är en familj av delmängder till X som besitter vissa egenskaper; för detaljer se artikeln Topologiskt rum. Sigma-algebran, σ(T), genererad av denna familj kallas Borel sigma-algebran på X.

[redigera] Exempel: Produkt sigma-algebra

Låt $(X, F)$ och $(Y, G)$ vara två mätbara rum. På den cartesiska produkten $X \times Y$ skall en sigma-algebra definieras, baserad på de tillgängliga sigma-algebrorna $F$ och $G$ .

En första tanke kanske är att bilda familjen

M

bestående av alla produkter $A \times B$ , där A är ett element i F och B ett element i G. Familjen

$M = \{ A \times B : A \in F, B \in G \}$

behöver inte vara en sigma-algebra på $X \times Y$ bara för att F är en sigma-algebra på X och G är en sigma-algebra på Y, vilket följande exempel visar.

Låt

F

= { Ø, X } vara den triviala sigma-algebran på X och

G

= { Ø, Y } den triviala sigma-algebran på Y. Produkten av dessa familjer är familjen

$M = \{ \emptyset \times \emptyset , \emptyset \times Y, X \times \emptyset , X \times Y \}.$

Om vi tar de två elementen $A = \emptyset \times Y$ och $B = X \times \emptyset$ , så måste deras union $A \cup B = \{ \emptyset \times Y, X \times \emptyset \}$ vara ett element i familjen M, om denna är en sigma-algebra på den cartesiska produkten $X \times Y$ .

Den korrekta definitionen av produkt sigma-algebran på $X \times Y$ är som den minsta sigma-algebra som innehåller familjen $M$ ovan. Den vanligast förekommande beteckningen för denna är $F \otimes G = \sigma(F \times G).$

[redigera] Sigma-algebra genererad av en avbildning

Låt $f : X \longrightarrow Y$ vara en avbildning från det mätbara rummet $(X,\mathcal{F})$ till det mätbara rummet $(Y,\mathcal{G})$ . Detta innebär att familjen $f^{-1}(\mathcal{G}) \subseteq \mathcal{F},$

Familjen $f^{-1}(\mathcal{G}),$ vars element är mängder av typen

$f^{-1}(G) = \{x \in X : f(x) \in G \},$ $G \in \mathcal{G},$

är en sigma-algebra på X. Det är den minsta sigma-algebra på X som gör avbildningen $f : X \longrightarrow Y$ mätbar. Man kallar den för sigma-algebran genererad av f och skriver σ(f); den definieras därför som σ(f) = $f^{-1}(\mathcal{G}).$

[redigera] Sigma-algebra genererad av flera avbildningar

Låt $f : X \longrightarrow Y$ och $g : X \longrightarrow Y$ vara två avbildningar från det mätbara rummet $(X,\mathcal{F})$ till det mätbara rummet $(Y,\mathcal{G})$ . Unionen $f^{-1}(\mathcal{G}) \cup g^{-1}(\mathcal{G})$ är inte nödvändigtvis en sigma-algebra på X, men det är sigma-algebran $\sigma(f^{-1}(\mathcal{G}) \cup g^{-1}(\mathcal{G}))$ , genererad av familjen $f^{-1}(\mathcal{G}) \cup g^{-1}(\mathcal{G})$ . Detta är den minsta sigma-algebra på X som gör både f och g till mätbara avbildningar. Man kallar detta för sigma-algebran genererad av f och g och skriver σ(f,g).

På samma sätt som ovan definierar man sigma-algebran $\sigma({f_i : i \in I})$ genererad av avbildningar $f_i : X \longrightarrow Y$ från det mätbara rummet $(X,\mathcal{F})$ till det mätbara rummet $(Y,\mathcal{G})$ .

[redigera] Doob-Dynkins lemma

Låt $f,g : X \longrightarrow Y$ vara två avbildningar från det mätbara rummet $(X,\mathcal{F})$ till det mätbara rummet $(Y,\mathcal{G})$ . Vi skall visa följande ekvivalens, kallad Doob-Dynkins lemma:

Avbildningen g är mätbar med avseende på sigma-algebran genererad av f omm Det finns en mätbar avbildning $F : Y \longrightarrow Y$ sådan att avbildningen g ges av sammansättningen $g = F \circ f.$

Med symboler:

$g \in \sigma(f) \Longleftrightarrow \exists \, F : g = F \circ f.$

[redigera] Bevis av Doob-Dynkins lemma

Antag att $g \in \sigma(f)$ , det vill säga att sigma-algebran g^-1(G) är en del av sigma-algebran f^-1(G),

$g^{-1}(G) \subseteq f^{-1}(G).$

För varje element $A \in G$ finns det då ett motsvarande element $B_A \in G$ som är sådant att

g - 1 (A) = f - 1 (B A).

Vi påminner om att en avbildning $F : Y \longrightarrow Y$ från det mätbara rummet (Y, G) till (Y, G) är mätbar om, och endast om, det för varje element $M \in G$ finns ett motsvarande element $N_M \in G$ som är sådant att