பல்கோணம்

கட்டற்ற கலைக்களஞ்சியமான விக்கிபீடியாவில் இருந்து.

பல்கோணம் (polygon) என்பது குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையான பக்கங்களைக் கொண்ட மூடிய தள வடிவமாகும். பல்கோணத்தை ஆக்குகின்ற நேர் கோட்டுப் பகுதிகள் பக்கங்கள் அல்லது விளிம்புகள் எனப்படும். அடுத்தடுத்த பக்கங்கள் சந்திக்கும் புள்ளிகள் உச்சிகள் என அழைக்கப்படும். குறிப்பிட்ட பல்கோணம் ஒரு எளிமையான பல்கோணமாயிருப்பின், அதன் பக்கங்கள் ஒரு பல்கோணப் பிரதேசத்தின் எல்லையைக் குறிக்கும். அத்துடன் பல்கோணம் என்பது சில சமயம் பல்கோணப் பிரதேசத்தின் உட்பகுதியையோ அல்லது பிரதேசத்தையும், எல்லையையும் சேர்த்தோ குறிப்பதுண்டு.

பொருளடக்கம் 1 பெயர்களும் வகைகளும் 2 பெயரிடல் வகைப்பாடு 3 இயல்புகள் 3.1 கோணம் 3.2 பரப்பளவு 3.3 அமைப்பு 4 Point in polygon test 5 Special cases 6 இவற்றையும் பார்க்கவும்

[தொகு] பெயர்களும் வகைகளும்

பல்கோணங்கள் அவற்றின் பக்கங்களின் (கோணங்களினதும்) எண்ணிக்கையைக் கொண்டு பெயரிடப் படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக எட்டுப் பக்கங்களைக் கொண்ட பல்கோணம் எண்கோணம் ஆகும்.

பல்கோணப் பெயர்

பெயர்	பக்கங்கள்
முக்கோணம்	3
நாற்கோணம்	4
ஐங்கோணம்	5
அறுகோணம்	6
எழுகோணம்	7
எண்கோணம்	8
நவகோணம்	9
பதின்கோணம்	10

[தொகு] பெயரிடல் வகைப்பாடு

பல்கோணங்களின் பெயரிடல் வகைப்பாடு (taxonomic classification) கீழேயுள்ள படத்தின் மூலம் விளக்கப்பட்டுள்ளது:

                                               பல்கோணம்
                                     /          \
                                      எளிமையான       சிக்கலான
                                /     \
                                   குவிவு     குழிவு
                            /
                              சுழற்சிமுறை 
                       /    
                        ஒழுங்கான

• பல்கோணம் ஒன்று தனியான ஒன்றையொன்று குறுக்கிடாத எல்லைகளைக் கொண்டிருப்பின் அது எளிமையான பல்கோணம் (simple polygon) எனப்படும். அல்லாவிடின் அது சிக்கலான பல்கோணம் ஆகும்.
• ஓர் எளிமையான பல்கோணத்தின் உட்கோணங்கள் 180°க்குக் குறைவாகக் காணப்படின் அது குவிவுப் பல்கோணம் (convex polygon) எனவும் 180°க்கு மேற்படின் அது குழிவுப் பல்கோணம் (concave polygon) எனப்படும்.
• A convex polygon is called concyclic or a cyclic polygon if all the vertices lie on a single circle.
• A cyclic polygon is called regular if all its sides are of equal length and all its angles are equal; for each number of sides, all regular polygons are similar.

ஒழுங்கான பல்கோணங்கள் பின்வருவனவற்றை உள்ளடக்குகின்றன:

• சமபக்க முக்கோணம் (equilateral triangle)
• சதுரம்
• ஒழுங்கான ஐங்கோணம்
• ஒழுங்கான அறுகோணம்

[தொகு] இயல்புகள்

We will assume Euclidean geometry throughout.

An n-gon has 2n degrees of freedom, including 2 for position and 1 for rotational orientation, and 1 for over-all size, so 2n-4 for shape.

In the case of a line of symmetry the latter reduces to n-2.

Let k≥2. For an nk-gon with k-fold rotational symmetry (C_k), there are 2n-2 degrees of freedom for the shape. With additional mirror-image symmetry (D_k) there are n-1 degrees of freedom.

[தொகு] கோணம்

ஒரு பல்கோணம், அது ஒழுங்கானதாயினும், ஒழுங்கற்றதாயினும், சிக்கலானதாயினும், எளிமையானதாயினும், அதன் பக்கங்களின் எண்ணிக்கையளவு கோணங்களைக் கொண்டிருக்கும். n பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு பல்கோணத்தின் உட்கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை (n−2)π ஆரையன்கள் (அல்லது (n−2)180°), அத்துடன் ஒரு ஒழுங்கான பல்கோணத்தின் ஒரு உட்கோணத்தின் அளவு (n−2)π/n ஆரையன்கள் (அல்லது (n−2)180°/n, அல்லது (n−2)/(2n) [[Turn (geometry)|turns. This can be seen in two different ways:

• Moving around a simple n-gon (like a car on a road), the amount one "turns" at a vertex is 180° minus the inner angle. "Driving around" the polygon, one makes one full turn, so the sum of these turns must be 360°, from which the formula follows easily. The reasoning also applies if some inner angles are more than 180°: going clockwise around, it means that one sometime turns left instead of right, which is counted as turning a negative amount. (Thus we consider something like the winding number of the orientation of the sides, where at every vertex the contribution is between -1/2 and 1/2 winding.)
• Any simple n-gon can be considered to be made up of (n−2) triangles, each of which has an angle sum of π radians or 180°.

Moving around an n-gon in general, the total amount one "turns" at the vertices can be any integer times 360°, e.g. 720° for a pentagram and 0° for an angular "eight". See also orbit (dynamics).

[தொகு] பரப்பளவு

Several formulae give the area of a regular polygon:

half the perimeter multiplied by the length of the apothem (the line drawn from the centre of the polygon perpendicular to a side)

The area A of a simple polygon can be computed if the cartesian coordinates (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_n, y_n) of its vertices, listed in order as the area is circulated in counter-clockwise fashion, are known. The formula is

A = ½ · (x₁y₂ − x₂y₁ + x₂y₃ − x₃y₂ + ... + x_ny₁ − x₁y_n)

  = ½ · (x₁(y₂ − y_n) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₄ − y₂) + ... + x_n(y₁ − y_n−1))

The formula was described by Meister in 1769 and by Gauss in 1795. It can be verified by dividing the polygon into triangles, but it can also be seen as a special case of Green's theorem.

If the polygon can be drawn on an equally-spaced grid such that all its vertices are grid points, Pick's theorem gives a simple formula for the polygon's area based on the numbers of interior and boundary grid points.

If any two simple polygons of equal area are given, then the first can be cut into polygonal pieces which can be reassembled to form the second polygon. This is the Bolyai-Gerwien theorem.

[தொகு] அமைப்பு

All regular polygons are concyclic, as are all triangles and rectangles (see circumcircle).

A regular n-sided polygon can be constructed with ruler and compass if and only if the odd prime factors of n are distinct Fermat primes. See constructible polygon.

[தொகு] Point in polygon test

In computer graphics and computational geometry, it is often necessary to determine whether a given point P = (x₀,y₀) lies inside a simple polygon given by a sequence of line segments. It is known as Point in polygon test.

[தொகு] Special cases

Some special cases are:

• angle of 0° or 180° (degenerate case)
• two non-adjacent sides are on the same line
• equilateral polygon: a polygon whose sides are equal (Williams 1979, pp. 31-32)
• equiangular polygon: a polygon whose vertex angles are equal (Williams 1979, p. 32)

A triangle is equilateral iff it is equiangular.

An equilateral quadrilateral is a rhombus, an equiangular quadrilateral is a rectangle or an "angular eight" with vertices on a rectangle.

[தொகு] இவற்றையும் பார்க்கவும்

• வட்டப் பல்கோணம் (cyclic polygon)
• வடிவவியல் உரு (geometric shape)
• polyform
• polyhedron
• polytope
• எளிமையான பல்கோணம்
• நட்சத்திரப் பல்கோணம்
• synthetic geometry
• tiling
• tiling puzzle