Mnohoúhelník

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Mnohoúhelník (též n-úhelník) je část roviny vymezená úsečkami, které spojují určitý počet bodů (nejméně tři), z nichž žádné tři sousední neleží na jedné přímce. Přesnější definice je tato: Mnohoúhleník je omezená část roviny ohraničená uzavřenou lomenou čárou.

Obsah

1 Základní pojmy
2 Znázornění a zápis
3 Druhy mnohoúhelníků
4 Vlastnosti
- 4.1 Vlastnosti pravidelného mnohoúhelníku
5 Podívejte se také

[editovat] Základní pojmy

Body, které určují mnohoúhelník, se nazývají vrcholy mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují sousední vrcholy, se nazývají strany mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují nesousední vrcholy, se nazývají úhlopříčky. Úhly, které svírají sousední strany, se nazývají vnitřní úhly mnohoúhelníka. Počet vrcholů, stran a vnitřních úhlů je v jednom mnohoúhelníku stejný a tento počet určuje název mnohoúhelníku: trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník, …

[editovat] Znázornění a zápis

Mnohoúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran, označuje se výčtem vrcholů v jejich přesném pořadí. U speciálních mnohoúhelníků (trojúhelník, čtverec, obdélník, …) se v zápise před výčet vrcholů umisťuje příslušný symbol (Δ …). Vrcholy, strany a úhly mnohoúhelníka se zapisují stejným způsobem jako body, úsečky a úhly.

[editovat] Druhy mnohoúhelníků

Kromě mnohoúhelníků lišících se počtem vrcholů (viz Základní pojmy), se mnohoúhelníky dělí na:

pravidelné (všechny strany i vnitřní úhly jsou shodné) a nepravidelné,
konvexní (všechny vnitřní úhly jsou menší než 180°) a nekonvexní (alespoň jeden vnitřní úhel je vetší než 180°),
pravoúhelníky (všechny vnitřní úhly jsou pravé, příp. 270°) a nepravoúhelníky (aspoň jeden vnitřní úhel se nerovná pravému úhlu).

[editovat] Vlastnosti

Obvod mnohoúhelníka $o$ se vypočte jako součet všech jeho stran:

o = a + b + c + ...

, kde

a, b, c,...

jsou jednotlivé strany mnohoúhelníka.

Obsah obecného mnohoúhelníka $S$ se vypočte pomocí rozložení mnohoúhelníka na vhodné vzájemně se nepřekrývající trojúhelníky, obdélníky nebo čtverce, jejichž obsahy $S 1, S 2,...$ se vypočítají podle známých vzorců a následně sečtou:

S = S 1 + S 2 + ...

Součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku je roven

$\frac{1}{2}\pi (2n-4) \;\mathrm{rad}$

Počet úhlopříček obecného $n$ -úhelníku určíme ze vztahu

$\frac{1}{2}n(n-3)$

Jestli existuje taková kružnice, že na ní leží všechny vrcholy daného mnohoúhelníku, pak říkáme, že je mnohoúhelníku opsaná. Mnohoúhelník, kterému lze opsat kružnici se nazývá tětivový (jeho strany jsou tětivami opsané kružnice).

[editovat] Vlastnosti pravidelného mnohoúhelníku

Velikost vnitřního úhlu pravidelného $n$ -úhelníku má hodnotu

$\alpha_n = \frac{n-2}{n}\pi$

Velikost středového, popř. vnějšího úhlu je rovna

$\alpha_n^\prime = \frac{2\pi}{n}$

Pravidelnému mnohoúhelníku lze opsat i vepsat kružnici. Středy obou kružnic leží ve stejném bodě, který je totožný s těžištěm mnohoúhelníku.

Označíme-li délku strany pravidelného $n$ -úhelníku jako $a n$ a poloměr kružnice opsané jako $r n$ , pak poloměr $ρ n$ kružnice vepsané lze určit ze vztahu