กฎผลคูณ

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

กฎผลคูณ เป็นบทความเกี่ยวกับ คณิตศาสตร์ ที่ยังไม่สมบูรณ์ ต้องการตรวจสอบ เพิ่มเนื้อหา หรือเพิ่มแหล่งอ้างอิง คุณสามารถช่วยเพิ่มเติมหรือแก้ไข เพื่อให้สมบูรณ์มากขึ้น
ข้อมูลเกี่ยวกับ กฎผลคูณ ในภาษาอื่น อาจสามารถหาอ่านได้จากเมนู ภาษาอื่น ด้านซ้ายมือ

หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัส

อนุพันธ์

กฎผลคูณ | กฎผลหาร | กฎลูกโซ่ | อนุพันธ์โดยปริยาย | ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

ปริพันธ์

ในคณิตศาสตร์ กฎผลคูณของแคลคูลัส ซึ่งเราอาจเรียกว่า กฎของไลบ์นิซ (ดูการอนุพัทธ์) ควบคุมอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้

ซึ่งอาจเขียนได้ดังนี้

$\,\!(fg)'=f'g+fg'$

หรือด้วยสัญกรณ์ไลบ์นิซดังนี้

${d\over dx}(uv)=u{dv\over dx}+v{du\over dx}.$

[แก้] ค้นพบโดยไลบ์นิซ

ไลบ์นิซได้ชื่อว่าเป็นผู้ค้นพบกฎนี้ ซึ่งพิสูจน์โดยใช้คณิตศาสตร์ดิฟเฟอเรนเชียล สมมุติให้ u(x) และ v(x) เป็นฟังก์ชันซึ่งหาอนุพันธ์ได้ของ x ดิฟเฟอเรนเชียลของ uv คือ

$d(uv)\,$	$= (u + du)(v + dv) - uv\,$
	$= u(dv) + v(du) + (du)(dv) \,$

แต่เนื่องจากเทอม (du)(dv) มีค่าน้อย (ในรูปควาดราติกของ du และ dv) ไลบ์นิซสรุปว่า

$d(uv) = (du)v + u(dv) \,$

และนี่คือกฎผลคูณในรูปของดิฟเฟอเรนเชียล ถ้าเราหารตลอดด้วยดิฟเฟอเรนเชียล dx เราจะได้

$\frac{d}{dx} (uv) = \left( \frac{du}{dx} \right) v + u \left( \frac{dv}{dx} \right)$

ซึ่งสามารถเขียนอีกรูปหนึ่งได้เป็น

$(uv)' = u' v + u v' \,$

[แก้] ตัวอย่าง

สมมุติว่าคุณต้องการหาอนุพันธ์ของ f(x) = x² sin(x) โดยการใช้กฎผลคูณจะได้คำตอบ f'(x) = 2x sin(x) + x²cos(x) (เนื่องจากอนุพันธ์ของ x² คือ 2x และอนุพันธ์ของ sin(x) คือ cos(x)).
กฎการคูณด้วยค่าคงที่ (Constant Multiple Rule) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของกฎผลคูณ กล่าวไว้ว่า: ถ้า c เป็น จำนวนจริง และ f(x) เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะได้ว่า cf(x) ก็หาอนุพันธ์ได้เช่นกัน และมีอนุพันธ์เป็น (c × f)'(x) = c × f '(x). (นี่เป็นผลจากกฎการคูณ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ มีค่าเป็นศูนย์) เมื่อนำผลที่ได้นี้รวมเข้ากับกฎผลบวกจะได้ว่า การหาอนุพันธ์เป็นกระบวนการเชิงเส้น
กฏผลคูณสามารถใช้พิสูจน์ การหาปริพันธ์เป็นส่วน และ กฎผลหาร

[แก้] ข้อผิดพลาดโดยทั่วไป

ความผิดพลาดของผู้ที่เริ่มศึกษาแคลคูลัสบ่อย ๆ คือการสมมุติว่าอนุพันธ์ของ (uv) เท่ากับ (u)(v) (ไลบ์นิซก็คิดเช่นนั้นในตอนแรก) แต่ว่าเราสามารถหาตัวอย่างมาโต้แย้งได้ง่าย ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน f ซึ่งมีอนุพันธ์ f '(x) ฟังก์ชันนี้สามารถเขียนได้อีกรูปหนึ่งเป็น f(x) · 1 เพราะ 1 เป็นเอกลักษ์ของการคูณ ถ้าสมมุติฐานข้างบนซึ่งผิดพลาดเป็นจริง กล่าวคือได้ (u)(v) ซึ่งก็คือ ผลคูณ f '(x) · 0 มีค่าเป็น ศูนย์ เนื่องจากอนุพันธ์ของค่าคงที่ (เช่น 1) เป็นศูนย์เสมอ

[แก้] การพิสูจน์กฎผลคูณ

กฎผลคูณสามารถพิสูจน์ได้โดยอาศัยคุณสมบัติของลิมิต และนิยามของอนุพันธ์จากผลหารผลต่างของนิวตัน:

สมมุติว่า

$f(x) = g(x)h(x) \,$

และสมมุติต่อไปว่า g และ h หาอนุพันธ์ได้ที่จุด x ดังนั้น

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x)}{\Delta x}$

เนื่องจาก

$g(x + \Delta x)h(x + \Delta x) - g(x)h(x) = g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x)), \,$

จะได้ว่า

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x)(h(x + \Delta x) - h(x)) + h(x + \Delta x)(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right)\right]$

เนื่องจาก h มีค่าต่อเนื่องที่จุด x เราได้

$\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x) = h(x)$

และอาศัยนิยามของอนุพันธ์ และการหาอนุพันธ์ได้ของ h และ g ที่จุด x จะได้ว่า

$h'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}$

และ

$g'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}$

เมื่อรวมทุกอย่างเข้าด้วยกันจะได้

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \left[g(x)\left(\frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right) + h(x + \Delta x)\left(\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right)\right]$

$= \left[\lim_{\Delta x \to 0} g(x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(h(x + \Delta x) - h(x))}{\Delta x}\right] + \left[\lim_{\Delta x \to 0} h(x + \Delta x)\right]\left[\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x + \Delta x) - g(x))}{\Delta x}\right]$