Власна функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Вла́сною фун́кцією лінійного оператора $L$ із власним значенням $λ$ називається така ненульова функція $f$ , для якої виконується співвідношення

L (f) = λ f,

де $λ$ це певний скаляр, тобто дійсне або комплексне число. Таким чином, дія оператора $L$ на його власну функцію $f$ зводиться до множeння $f$ на скаляр (число) $λ.$ Поняття власної функції — це зразок загального поняття власного вектора лінійного оператора, коли роль векторів відіграють функції. Зокрема, воно широко вистосовується у теорії диференціальних і інтегральних операторів. Якщо $L$ — це оператор Шредінгера з квантової механіки, то його власні функції мають зміст векторів стаціонарного стану, а власні значення відповідають енергії (див. Стаціонарне рівняння Шредінгера). Переважна більшість спеціальних функцій і всі ортогональні поліноми, які розглядаються у математиці і фізиці, є власними функціями певних диференціальних операторів.

Якщо для оператора існує більш за одну лінійно незалежну власну функцію із однаковим власним значенням $λ$ , то таке власне значення називається виродженим . Множина всіх власних значень оператора $L$ нaлежить до спектра $L$ , але взагалі спектр оператора містить також $λ,$ що не є власними числами.

[ред.] Приклади

1. Розглянемо зміну напрямку $x\mapsto -x$ на числової осі $\mathbb{R}$ . Це — відображення $\mathbb{R}$ до себе, що приводить до лінійного оператора $S,$ що діє на функціях на $\mathbb{R}$ за формулою

S f (x) = f ( - x).

Власними функціями $S$ є всі парні функції, що відповідають власному значенню 1, і всі непарні функції, що відповідають власному значенню −1, за винятком функції $0.$ Функції, які не є ні парними, ні непарними, не належать до власних функцій даного оператора. Спектр даного оператора збігається із множиною власних значеннь і складається із двох числел: 1 та -1. Обидва власні значення вироджені, оскільки існує безліч парних чи непарних функцій.

2. Для оператора похідної $\frac{d}{dx}$ у просторі всіх диференційовних дійснозначних функцій однієї змінної $x$ , експоненціальнa функція $e^{kx}, k\in\mathbb{R}$ є власною функцією із власним значенням $k .$ У теорії диференціальних рівняннь доводиться, що будь-яка фунція $f (x),$ що задовільняє рівнянню $\frac{df}{dx}=kf,$ має вигляд $f (x) = C e k x,$ тобто пропорціональна $e k x .$ Тому жодне із власних значень не є виродженим. Якщо поширити простір, на якому діє $\frac{d}{dx},$ до простору всіх диференційовних комплекснозначних функцій, то будь-яка власна функція $\frac{d}{dx}$ пропорціональна до комплексної експоненціальної функції $e^{kx}, k\in\mathbb{C}.$

3. Поліноми Лежандра $P_l(z)=\frac{(-1)^l}{2^l l!}\frac{d^l}{dz^l}(1-z^2)^l$ є власними функціями диференціального оператора $L=(1-z^2)\frac{d^2}{dz^2}-2z\frac{d}{dz}$ з власними значеннями $λ = - l (l + 1).$ Ці функції — скінченні у точках $z=\pm 1,$ і будь-яка власна функція $L$ скінченна у $z=\pm 1$ пропорціональна до певного $P_l(z), l=0,1,2,\ldots.$

Ця стаття в процесі редагування на короткий час.

Будь ласка, не редагуйте та не змінюйте її, оскільки Ваші зміни можуть бути втрачені.

Якщо ця сторінка не редагувалася недавно (кілька годин!), будь ласка приберіть цей шаблон.

Це повідомлення призначено до допомоги скорочення конфліктів редагування; будь ласка приберіть його між сесіями редагування, щоб дати іншим користувачам можливість поліпшити цю сторінку.