Еліпс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Еліпс — лінія другого порядку.

Зміст

1 Аналітичне визначення
2 Визначальна властивість еліпса
3 Геометричне визначення
4 Елементи еліпса
5 Різні види рівнянь еліпса
6 Дотична
7 Дивись

[ред.] Аналітичне визначення

Еліпсом називають лінію, яка в деякій декартовій прямокутній системі координат задається рівнянням:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

[ред.] Визначальна властивість еліпса

Точки $\left. F_1 \right.$ і $\left. F_2 \right.$ називають фокусами еліпса, а відстань між ними — фокальною відстанню, її позначають через $\boldsymbol{2c}$ , отже, $\left| F_1 F_2 \right| = 2c$ . Суму відстаней від будь-якої точки $\left. M \right.$ еліпса до фокусів $\left. F_1 \right.$ і $\left. F_2 \right.$ позначимо $\boldsymbol{2a}$ . Тоді за означенням маємо: $\left. 2a > 2c,\;a>c \right.$ . Звідси можна сказати, що еліпс складається з таких і тільки таких точок $\left. M \right.$ , які задовольняють умові: $\left| F_1 M \right| + \left| F_2 M \right| = 2a$

[ред.] Геометричне визначення

Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок $\left. F_1 \right.$ і $\left. F_2 \right.$ цієї площини є величина стала, більша за відстань між $\left. F_1 \right.$ і $\left. F_2 \right.$ .

[ред.] Елементи еліпса

[ред.] Вершини еліпса

Точки $A,\;A_1,\;B,\;B_1$ перетину еліпсу з осями прямокутної системи координат, вибраної так щоб початок координат був серединою відрізка $\left| F_1 F_2 \right|$ , а вісь $\left. Ox \right.$ збігалася з прямою $\left( F_1 F_2 \right)$ , називають вершинами еліпсу.

[ред.] Вісі еліпса

Відрізок $\left| A A_1 \right| = 2a$ , що проходить через обидва фокуси $\left. F_1 \right.$ і $\left. F_2 \right.$ , називають великою віссю еліпсу, а перпендикулярний йому відрізок $\left| B B_1 \right| = 2b$ , що перетинається з великою віссю в центрі еліпсу $\left. O \right.$ – відповідно його малою віссю. Довжина цих відрізків відповідає умові $\left. a^2 - b^2 = c^2 \right.$ . Еліпс симетричний відносно своїх осей та центру.

[ред.] Директриса та ексцентриситет

Число $e = {c \over a}$ це ексцентриситет еліпсу, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпсу $\boldsymbol{e} < 1$ . Прямі, рівняння яких $x = - {a \over e}\quad \mbox{i} \quad x = {a \over e}$ називаються директрисами еліпсу; співвідношення відстані будь-якої точки еліпсу до найближчого фокусу до відстані до найближчої директриси постійно і дорівнює ексцентриситету.

Зауважимо, що величинами, які характеризують еліпс, є велика і мала півосі $\boldsymbol{a}$ і $\boldsymbol{b}$ , відстань $\boldsymbol{c}$ фокуса від центра, ексцентриситет $\boldsymbol{e}$ . Залежність між ними виражається формулами: $a^2 = b^2 + c^2,\;e = {c \over a}$ . Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить знати або півосі $\left. a \right.$ і $\left. b \right.$ , або одну піввісь і ексцентриситет і т.д.

Якщо точки $\left. F_1 \right.$ і $\left. F_2 \right.$ збігаються, то еліпс стає колом радіуса $\left. a \right.$ . При цьому $\left.a = b,\;e = 0\right.$ . Отже, коло є окремим випадком еліпса.