椭圆

椭圆是到平面上两定点距离之和为一定值的点的集合。

在座標平面上給定兩點 F₁ 和 F₂ ，如果有一個以F₁ 和 F₂ 為兩焦點的橢圓，那麼所有在橢圓上的點 P，都會滿足 P 到兩焦點距離的和恆為一定值的這個條件：

$| P F 1 | + | P F 2 | =$ 定值

也就是說，所有的點 P 構成的集合，在座標平面上的圖形就是一個橢圓。

經由這個定義，我們可以很輕鬆的畫出一個橢圓。先準備一條線，將這條線的兩端綁各綁在一點上（這兩個點就當作是橢圓的兩個焦點），接著拿起一支筆，從線的一端往另一端移動使線繃緊，到極限為止，這時候兩個點和筆就會形成一個三角形，然後拉著線開始作圖，持續的使線繃緊，最後就可以完成一個橢圓的圖形了。

[编辑] 定义

假设（注意所有假设只是为了导出椭圆方程时比较简便）动点为

P (x, y)

，两个定点为

F 1 ( - c,0)

和

F 2 (c,0)

，

则根据定义，动点

P

的轨迹方程满足（定义式）：

| P F 1 | + | P F 2 | = 2 a (a > 0)

，其中

2 a

为定长。

用两点的距离公式可得： $|PF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$ ， $|PF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ ，代入定义式中，得：

$\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$

整理上式，并化简，得：

(a 2 - c 2) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 - c 2)

①

当

a > c

时，并设

a 2 - c 2 = b 2

，则①式可以进一步化简：

b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2

②

因为

a 2 b 2 > 0

，将②式两边同除以

a 2 b 2

，可得：

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1

则该方程即动点

P

的轨迹方程，即椭圆的方程。这个形式也是椭圆的标准方程。

$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$

在方程中，所设的 $2 a$ 称为长轴长， $2 b$ 称为短轴长，而所设的定点称为焦点，那幺 $2 c$ 称为焦距。在假设的过程中，假设了 $a > c$ ，如果不这样假设，会发现得不到椭圆。当 $a = c$ 时，这个动点的轨迹是一个圆；当 $a < c$ 时，根本得不到实际存在的轨迹，而这时，其轨迹称为虚椭圆。另外还要注意，在假设中，还有一处： $a 2 - c 2 = b 2$ 。
通常认为圆是椭圆的一种特殊情况。

几何术语（檢視 • 討論 • 編輯 • 歷史）
点、线、面、体
点：	顶点 \| 切点
线：	直线 \| 平行线 \| 曲线 \| 切线 \| 线段 \| 弦
面：	平面 \| 曲面 \| 边 \| 角
體：	立體
常見幾何形狀
线
螺线 \| 圓錐曲線
平面形狀
正多边形 \| 三角形 \| 四边形 \| 正方形 \| 矩形（长方形） \| 梯形 \| 平行四边形 \| 菱形 \| 圆形 \| 椭圆 \| 扇形 \| 弓形
立體
正多面体：	正四面體 \| 立方體（正六面體） \| 正八面體 \| 正十二面體 \| 正二十面體
星形正多面體：	小星形十二面體 \| 大十二面體 \| 大星形十二面體 \| 大二十面體
其它立體：	长方体 \| 棱锥 \| 圆锥 \| 球 \| 圆球 \| 椭球 \| 圆台 \| 圆柱
幾何特徵
長度 \| 面积 \| 体积 \| 表面積 \| 周长 \| 圆周率 \| 歐拉特徵數
基本幾何慨念
相似 \| 全等 \| 平行 \| 垂直 \| 距离 \| 比例
幾何理論和方法
定理 \| 公理 \| 證明 \| 黄金分割 \| 尺规作图
幾何工具
尺 \| 圆规