Порожня множина
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
ПОРОЖНЯ МНОЖИНА в математиці - множина, яка не містить жодного елемента. Така множина позначається як Ø або {}.
Наприклад, якщо досліджується множина об’єктів, які повинні задовольняти певній властивості, і в подальшому з’ясовується, що таких об’єктів не існує, то зручніше сказати, що шукана множина порожня, ніж оголосити її неіснуючою. Порожню множину можна означити за допомогою будь-якої суперечливої властивості, наприклад: Ø = {x|x≠x} тощо. Разом із тим, твердження множина M - непорожня можна замінити рівносильне йому твердження існують елементи, які належать множині M
[ред.] Властивості
- Для будь-якої множини A, порожня множина є підмножиною A:
- ∀A: {} ⊆ A
- Для будь-якої множини A, об'єднання множин A та порожньої множини є A:
- ∀A: A ∪ {} = A
- Для будь-якої множини A, перетин множин A та порожньої множини є порожня множина:
- ∀A: A ∩ {} = {}
- Для будь-якої множини A, Декартів добуток A та порожньої множини є порожня множина:
- ∀A: A × {} = {}
- Єдиною підмножиною порожньої множини є сама порожня множина :
- ∀A: A ⊆ {} ⇒ A = {}
- Потужність порожньої множини є нуль:
- |{}| = 0
В алгебрі множин порожня множина є нейтральним елементом відносно операції об'єднання множин ∪.
