Множина

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

МНОЖИНА - одне з первісних понять сучасної математики. Строго воно не визначається, але може бути дано інтуїтивне визначення множини як невпорядкованої сукупності певних і різних об'єктів довільної природи, яка розглядається як одне ціле. Об'єкти, які складають множину, називаються її елементами. Наприклад, можна говорити про множину усіх книг в певній бібліотеці, множину літер українського алфавіту або про множину всіх коренів певного рівняння тощо.

[ред.] Основні поняття

Множина вважається означеною, якщо про кожен об'єкт, що розглядається, можна казати, що він або належить, або не належить множині. Ідентичні (тобто однакові) об'єкти в множині не розрізняються.

На письмі множини позначаються, як правило, великими літерами. Для деяких множин у математиці вживаються сталі позначення. Наприклад, ℤ - множина цілих чисел, ℕ - множина натуральних чисел, ℚ - множина раціональних чисел, ℝ - множина дійсних чисел тощо.

Нехай А - множина. Той факт, що елемент x входить в множину А, або належить множині А, позначається як x ∈ A. Той факт, що елемент x не входить в множину А, позначається x ∉ A. Знак ∈ називається знаком належності. Знак належності елемента множині ∈ є стилізацією першої літери грецького слова εστι (бути).

Множина B, всі елементи якої належать множині А, називають підмножиною множини A, або частиною множини А і позначають цей факт символами B ⊆ A, A ⊇ B.

Непуста підмножина B даної множини А, відмінна від множини А, має назву правильної частини (або власної підмножини чи точної підмножини) множини А. Для позначення того факту, що B є підмножиною А, яка не співпадає з А, використовують позначки B ⊂ A, A ⊃ B. Знаки ⊆, ⊇, ⊂, ⊃ називаються знаками включення.

Докладніше про підмножини дивись в статті Підмножина

Дві множини А та B є рівними (позначається A = B), коли вони мають однакові елементи.

В теорії множин виділяють також порожню множину, тобто множину, в яку не входить жоден елемент. Така множина позначається як ∅. Порожня множина є підмножиною будь-якої множини. Також завжди A ⊆ A, що природно, адже кожний елемент множини А належить цій множині (див. також Порожня множина).

[ред.] Способи задання множин

1. Задання множини за допомогою переліку її елементів.

Нехай множина X складається з елементів a, b, c, ..., k. Для означення цього факту використовується позначення:

X = {a, b, c, ... , k}

A = {4, 2, 1, 3}

B = {червоний, білий, блактиний}

Наприклад, множина натуральних чисел N визначається як:

N = {1, 2, 3, ... , n, ...}

2. Задання множини вказівкою властивості її елементів.

В математичних задачах, як правило, розглядають елементи деякої цілком означеної множини A. При цьому необхідні елементи виділяють за деякою їх властивістю (або вказують породжуючу процедуру) P, такою що кожний елемент x ∈ A або має властивість P (записується P(x)), або не має її. За допомогою властивості P виділимо множину всіх тих елементів, які мають властивість P. Цю множину будемо позначати як {x ∈ A | P(x)} = {x | P(x)}. Задання множини вказівкою її властивості (або породжуючим предикатом) слід здійснювати обережно. Наприклад, множина Y = {X|X∉X} (множина всіх множин, які не містять себе в якості елемента) веде до парадокса Рассела і є некоректною в аксіоматичній теорії множин.

[ред.] Операції з множинами

[ред.] Доповнення та різниця множин

Нехай задана деяка множина U (універсальна множина або універсум). Якщо A ⊂ U, то елементи множини U, які не належать А, називаються доповненням множини А до множини U і позначають як C_UA або U^CA. Якщо A ⊂ U, B ⊂ U, то доповнення множини B до А називають різницею множин А та B (саме в такому порядку) і позначають А \ B або А-B, тобто A \ B = {x:x ∈ A ∧ x ∉ B}.

Різниця множин A та B

Доповнення множини A до U

Примітка: Тут символ ∧ означає вимогу одночасної справедливості обох частин твердження (логічна зв'язка "І", кон'юнкція). Парний з ним символ ∨ означає вимогу справедливості щонайменш одного з двох тверджень (чи обох одночасно) (диз'юнкція, логічне АБО]].

Приклади:

{1, 2} − {червоний, білий} = {1, 2}
{1, 2, зелений} − {червоний, білий, зелений} = {1, 2}
{1, 2} − {1, 2} = ∅
Якщо U - множина цілих чисел, то доповлення її підмножини A всіх парних чисел є підмножина В всіх непарних чисел.

Деякі властивості операції доповлення:

A ∪ A′ = U
A ∩ A′ = ∅
(A′)′ = A
A − B = A ∩ B′

Докладніше дивись Доповнення множин.

[ред.] Об'єднання множин

Об'єднання множин A та B

Об'єднанням множин А та B називається множина, яка складається з усіх тих елементів, які належать хоча б одній з множин A, B:

A ∪ B = {x: x ∈ A ∨ A ∈ B}.

Приклади:

{1, 2} ∪ {червоний, білий} = {1, 2, червоний, білий}
{1, 2, зелений} ∪ {червоний, білий, зелений} = {1, 2, червоний, білий, зелений}
{1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}

Деякі властивості операції об'єднання:

A ∪ B = B ∪ A
A ⊆ A ∪ B
A ∪ A = A
A ∪ ∅ = A

Докладніше дивись Об'єднання множин

[ред.] Перетин множин

Перетин множин A та B

Перетином множин А та B називається множина, яка складається з усіх тих елементів, які належать кожній із множин А, B:

A ∩ B = {x: x ∈ A ∧ A ∈ B}.

Кажуть, що множини не перетинаються, якщо A ∩ B = ∅

Приклажи:

{1, 2} ∩ {червоний, білий} = ∅
{1, 2, зелений} ∩ {червоний, білий, зелений} = {зелений}
{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}

Деякі властивості перетину:

A ∩ B = B ∩ A
A ∩ B ⊆ A
A ∩ A = A
A ∩ ∅ = ∅

Докладніше дивись Перетин множин.

[ред.] Симетрична різниця множин

Симетрична різниця множин A та B є така множина елементів, які містяться в одній з цих двох множин, але не в обох. Позначається як AΔB.

Симетрична різниця AΔB

Наприклад, симетрична різниця множин {1,2,3} та {3,4} є {1,2,4}.

Деякі властивості симетричної різниці:

A Δ B = (A − B) ∪(B − A)

A Δ B = (A ∪B) − (A ∩B)

Докладніше дивись Симетрична різниця множин

[ред.] Алгебра множин

Операції ∩, ∪ та доповнення множини утворюють алгебру з певними властивостями.

Докладніше дивись статтю Алгебра множин

[ред.] Потужність множини

Практично всі з розглянутих вище множин має визначену кількість елементів. Наприклад, множина А з розділу "Способи задання множин" має 4 елементи, множина B - три елементи. Порожня множина має нуль елементів. Існують множини, які мають нескінченну кількість елементів. Такою є множина N всіх натуральних чисел. Поняття потужності множин стає важливим в контексті встановлення відношень між множинами. Зрозуміло, наприклад, що взаємооднозначне відношення між множинами А та B можливо встановити лише коли кількість їхніх елементів співпадає. Особливо важливою проблема порівняння потужності постає для множин з нескінченною кількістю елементів. Виявляється, що потужності таких множин можуть бути не рівними, і це призводить до деяких цікавих наслідків.

Докладніше дивись статтю Потужність множини

[ред.] Декартів добуток множин

Декартів добуток (прямий декартів добуток) множин X та Y - це множина усіх можливих впорядкований пар або кортежів, першими компонентами яких є елементи множини X, а другими - елементи множини Y.

Декартів добуток множин X та Y позначається як X × Y: X × Y = { (x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y }

Тут впорядкована пара (x, y) елементів x, y є множина {{x}, {x, y}}, яка має таку властивість, що (x, y) ≠ (y, x).

Докладніше дивись статтю Декартів добуток множин