地图投影

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地图投影，是指按照一定的数学法则将地球椭球面上的经纬网转换到平面上，使地面的地理坐标（φ，λ）与平面直角坐标（x，y）建立起函数关系。这是绘制地图的数学基础之一。由于地球是一个不可展的球体，使用物理方法将其展平会引起褶皱、拉伸和断裂，因此要使用地图投影实现由曲面向平面的转化。投影的一般公式为 $\begin{cases} x = f_{1}(\phi,\lambda) , \\ y = f_{2}(\phi,\lambda) , \end{cases}$

[编辑] 投影变形

经过投影变形后的世界地图，注意南北极的形状都已经拉长

一个大比例尺地图，无论使用何种投影都几乎无变形

在使用投影时，可以在平面与球面之间建立相对应函数关系，但是经过投影后的平面并不能保持球面上的长度、角度和面积的原形。所以经过投影的地图只能在长度、角度和面积之中的一项不变形，而其他几种变形，只能是变形值相对较小。

通常引进一个椭圆来说明地图投影的变形。在地面上取一个极小的微分圆（面积可以忽略，因此可以看成一个平面），投影变形后将成为一个椭圆，这个椭圆称作「变形椭圆」。利用这个椭圆，可以检验地图投影的变形性质和大小。

长度变形：可以使用长度比μ来表示。长度比是指地面上的微分线段经过投影后的长度与原有长度的比值。值得注意的是，这与比例尺并非一个概念。长度比是一个变量，它随着在地图上位置的变化而变化。
面积变形：可以使用面积比Ρ来表示。面积比是指地面上的微分面积经过投影后的大小与原有大小的比值。面积比也是一个变量。
角度变形：是指地面上的任意两条线的夹角α与经过投影后的角α′的差。由于地面上的一点可以引出无穷条方向线，因此角度变形一般指最大角度变形。

[编辑] 投影方法和分类

投影方法分为几何投影法和数学解析法。几何投影法是按照几何原理绘制的投影变形，适用于比较简单的投影，比如球心正轴方位投影；而数学解析法是利用笛卡尔提出的解析几何理论绘制的投影变形，适用于比较复杂的投影，比如等角正轴方位投影。

球心正轴方位投影的画法示意图

到目前为止，还没有一个对地图投影分类的统一标准。实际上，通常是按照构成方法或构成性质把地图投影分类。

如果按照构成方法分类，可以分成几何投影和非几何投影。几何投影源于几何透视原理。以几何特征为依据，将地球上的经纬网投影到可以展开的平面（如圆锥、圆柱等）上，可以构成方位投影、圆柱投影和圆锥投影。非几何投影不借助辅助投影面，用数学解析法求出公式来确立地面与地图上点的函数关系，有伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影和多圆锥投影。

按照构成性质分类，可以分为等角投影（正形投影）、等积投影以及任意投影。