差分

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微积分学

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差分是数学中的一个概念。如果对于序列x和函数f(x)，如果Δf(x) = f(x + 1) − f(x)，则称Δf(x)为f(x)的一阶差分。

[编辑] 差分的阶

称Δⁿ[f](x)为f(t)的n阶差分，如果

Δn[f](x)	= Δ{Δn − 1[f](x)}
	= Δn − 1[f](x + 1) − Δn − 1[f](x)

根据数学归纳法，有

其中，为二项式系数。

特别的，有

Δ²[f](x) = f(x + 2) − 2f(x + 1) + f(x)

[编辑] 差分的性质

• 如果C为常数，则有

ΔC = 0

• 线性：如果a,b为常数，则有

Δ(af + bg) = aΔf + bΔg

• 乘法定则：

Δ(fg) = fΔg + gΔf + ΔfΔg

• 除法定则：

• 连加性：