微积分学

维基百科，自由的百科全书

微积分学

微积分基础 函数 初等函数 极限 数列 夹挤定理 连续 间断点 一元微积分 导数与微分 高阶导数 中值定理 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 泰勒公式 洛必达法则 导数的函数应用 极值 凹凸性 曲率 积分 不定积分 积分表 三角函数积分表 反函数积分表 反双曲函数积分表 对数函数积分表 指数函数积分表 无理函数积分表 有理函数积分表 定积分 牛顿-莱布尼茨公式 广义积分 判别法 柯西判别法 阿贝尔判别法 狄里克雷判别法 主值 柯西主值 β函数 Γ函数 多元微积分 多元函数微分 多元函数 偏导数 隐函数 全微分 方向导数 梯度 泰勒公式 多元函数积分 重积分 二重-三重-多重 广义重积分 曲线积分 曲面积分 格林公式 高斯公式 斯托克斯公式 散度和旋度 微分方程 常微分方程 差分方程 拉普拉斯变化法 微积分的应用 微积分的几何应用 平面图形的面积 平面曲线的切线和弧长 旋转体的体积 旋转曲面的面积 曲面的切平面和法线 空间曲线的切线和法平面 微积分的物理应用 运动的位移、加速度 力所做的功 物质的质量 静力矩、惯性矩和重心 微积分的经济应用 边际 弹性、交叉弹性 收益流的现值和将来值 成本分析、净资产分析

微積分學（Calculus）是數學的一個基礎學科。內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

微積分學基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中，微分學一般會先被引入。

目录 1 微積分的發展歷史 2 微積分的主要內容 2.1 極限 2.2 導數 2.3 微分學 2.4 積分學 3 微積分的符號 4 微積分學的應用 5 微積分學作為課程 6 外部連接

[编辑] 微積分的發展歷史

微積分學是在17世紀由萊布尼茨和牛頓幾乎同時創立的，對此學界曾有極大的爭論，兩人曾為爭奪微積分的發明權訴諸皇家學會仲裁。而微積分之名與其符號之使用則是萊布尼茲所創。

微積分實際被許多人不斷地完善，也離不開巴羅、笛卡爾、費馬、惠更斯和沃利斯的貢獻。

發展現代微積分理論的一個動力是為了解決「切線問題」，另一個是「面積問題」。

[编辑] 微積分的主要內容

微積分主要有三大類分支：極限、微分學、積分學。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算。牛頓和萊布尼茲發現了這個定理以後才引起了其他學者對於微積分學的狂熱的研究。這個發現使我們在微分和積分之間互相轉換。這個基本理論也提供了一個用代數計算許多積分問題的方法，該方法並不真正進行極限運算而是通過發現不定積分。該理論也可以解決一些微分方程的問題，解決未知數的積分。微分問題在科學領域無處不在。

微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。

微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。

[编辑] 極限

微積分中最重要的概念是「極限」。微商(即導數)是一種極限。定積分也是一種極限。

從牛頓實際使用它到制定出周密的定義，數學家們奮斗了200多年。現在使用的定義是維斯特拉斯於19世紀中葉給出的。

數列極限就是當一個有順序的數列往前延伸時，如果存在一個有限數，使這個數列可以無限接近這個數，這個數就是這個數列的極限。

數列極限的表示方法是：

其中L就是極限的值。例如當時，它的極限為L = 0。就是說n越大(越往前延伸)，這個值越趨近於0。

[编辑] 導數

我們知道在運動學中，平均速度等於通過的距離除以所花費的時間，同樣在一小段間隔的時間內，除上其走過的一小段距離，等於這一小段時間內的速度，但當這一小段間隔的時間趨於零時，這時的速度為瞬時速度，無法按照通常的除法計算，這時的速度為時間的導數。得用求導的方法計算。也就是說，一個函數的自變量趨近某一極限時，其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導數。在速度問題上，距離是時間的因變量，隨時間變化而變化，當時間趨於某一極限時，距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導數。

導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。

[编辑] 微分學

微分學主要研究的是：在函數自變量變化時如何確定函數值的瞬時變化率(或微分)。換言之，計算導數的方法就叫微分學。微分學的另一個計算方法是牛頓法，該算法又叫應用幾何法，主要通過函數曲線的切線來尋找點斜率。費馬常被稱作「微分學的鼻祖」。 主要文章：微分學

[编辑] 積分學

積分學是微分學的逆運算，即從導數推算出原函數。又分為定與不定積分。一個一元函數的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和，約等於函數曲線下包含的實際面積。根據以上認識，我們可以用積分來計算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的表面積或體積等。 而不定積分，用途較少，主要用於微分方程的解。 主要文章：積分學

[编辑] 微積分的符號

微分學中的符號「dx」、「dy」等，係由萊布尼茲首先使用。其中的d源自德語中「差」（Differentia）的第一個字母。積分符號「∫」亦由萊布尼茲所創，它是德語「總和」（Summe）的第一個字母s的伸長。

[编辑] 微積分學的應用

微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與幾乎所有科學分支，特別是物理學，關系密切。幾乎所有現代技術，如建築、 航空等都以微積分學作為基本數學工具。

[编辑] 微積分學作為課程

微積分學也是困擾眾多大學學子的一門課程，例如有「高等數學」等名稱，其教學法由學科創立一開始就受到人們重視。

[编辑] 外部連接

• The Role of Calculus in College Mathematics - 微積分在大學數學中的角色（英文）
• 一起來學《微積分》 - 一個關於微積分學習的論壇
• 如何學好微積分 - 如何學好微積分
• 項武義《基礎數學講義》 - 包括代數學，幾何學和微積分學的講義.
• 微積分經典範例 - 微積分經典範例
• 埃立克·魏爾斯史甸在MathWorld中所描述之微積分。