有向集合

在数学中，有向集合是一个非空右过滤预序，就是说，一个非空集合 A 和在一起的自反的和传递的二元关系 ≤，带有额外的性质：对于 A 中任意两个元素 a 和 b，存在着 A 中的一个元素 c(不必须不同于 a,b) 有着 a ≤ c 和 b ≤ c (有向性)。

[编辑] 应用

有向集合是非空全序集合的一般化。在拓扑中它们用来定义一般化序列的网，并联合在数学分析中用到的各种极限的概念。

有向集合的例子有:

带有普通次序 ≤ 的自然数的集合 N 是一个有向集合(也是全序集合)。
如果 x₀ 是实数，我们可以把 R - {x₀} 集合变成有向集合，通过写 a ≤ b 当且仅当 |a - x₀| ≥ |b - x₀|。我们说实数已经被导向了 x₀。这不是偏序。
如果 T 是一个拓扑空间而 x₀ 是 T 中的一个点，我们可以把 x₀ 的所有邻域的集合变成有向集合，通过写 U ≤ V 当且仅当 U 包含 V。
- 对于所有 U: U ≤ U; 因为 U 包含自身。
- 对于所有 U,V,W: 如果 U ≤ V 而 V ≤ W, 则 U ≤ W; 因为如果 U 包含 V 而 V 包含 W 则 U 包含 W。
- 对于所有 U, V: 存在着集合 U $\cap$ V 使得 U ≤ U $\cap$ V 并且 V ≤ U $\cap$ V; 因为 U 和 V 二者都包含 U $\cap$ V。
在偏序集合 P 中，所有形如 {a| a $\in$ P, a ≤x} 的子集都是有向的，这里 x 是 P 的一个固定的元素。